Geometría (121). Trapecio

Foto: José María Martínez García (Segovia)

Problema propuestos en el XXXIV Concurso “Puig Adam” NIVEL I (4º de E.S.O.) Primera parte

Se trata de un problema relativamente sencillo, aunque requiere cierta destreza en la aplicación de las cuestiones de geometría elemental (fórmulas de áreas y aplicación de Tales). Si se acierta con la asignación de las medidas iniciales el problema se simplifica bastante.
Puede plantearse a los alumnos de ESO, desde el 2º curso; y a los de Bachillerato.

Problema
El trapecio ABCD de la figura siguiente verifica que el cociente entre las longitudes de las bases es BC/AD = 5/7. Los puntos E y F están en los lados CD y DA respectivamente y verifican que CE/ED = 2/3, AF/FD = 4/3. Si el área del cuadrilátero ABEF es 123, calcula el área del trapecio.

Solución.

Geometría (120). Perímetro

Foto: Caty Martínez García (Venecia)

El Concurso de Primavera que organiza la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid es una fuente casi inagotable de problemas; interesantes en su mayor parte. En este blog se recurre con frecuencia a los de enunciado geométrico. https://www.concursoprimavera.es/#problemas

En este caso se elige uno de los propuestos en el concurso del año 2000: 
https://www.concursoprimavera.es/resources/problemas/problemas-2000-fase2-nivel3.pdf

Se trata de un problema asequible para los alumnos de 2º de ESO en adelante. Basta con conocer el teorema de Pitágoras.

Problema
En el triángulo PQR de la figura, PR = 14 y PQ = 10. La altura sobre el lado QR corta a la prolongación en un punto S tal que SQ = 5. ¿Cuál es el perímetro del triángulo PQR?

Solución.

Geometría (119). Lado del triángulo

Foto: José María Martínez García (Ribadeo)

Vuelvo a proponer un problema fácil. Puede resolverse con los conocimientos matemáticos de 2º o 3º de ESO.

Problema
Un cuadrado de lado 1 está inscrito en un triángulo equilátero como se muestra en la figura. ¿Cuál es la longitud del lado del triángulo?

Solución.

Geometría (118). Ángulo

Foto: Carmen García Matas (Madrid) 

El problema que sigue se propuso a estudiantes de bachillerato en la LIII Olimpiada Matemática Española, en la Fase Local de la Comunidad de Madrid. (Aquí se ha variado la redacción del enunciado): https://www.ucm.es/data/cont/media/www/pag-91362/olimpiada_53.pdf

Aunque la matemática necesaria para su resolución no es complicada (de hecho solo se necesitan los teoremas de Tales y de Pitágoras y la definición de seno de un ángulo), pienso que no es fácil de resolver, pues hay que combinar unas ideas con otras; pero creo que es un reto interesante.

Problema
¿Cuánto vale el ángulo alfa? (La línea curva es una semicircunferencia).

Solución.

Geometría (117). Ángulos externos

Foto: José María Martínez García (Pasajes)

Abriendo la dirección web de más abajo puede verse una “demostración” de la proposición que sigue: “Si se prolongan en el mismo sentido todos los lados de un polígono convexo, la suma de los ángulos externos es igual a cuatro rectos”. https://plus.google.com/u/0/photos/photo/109680292532001229478/6431665039825779410?icm=false&iso=true

En los gráficos se ve para el caso de un pentágono. Nosotros pedimos una demostración general, para cualquier polígono convexo. No es difícil. Puede plantearse a cualquier alumno de 2º o 3º de ESO.

Problema
Demuéstrese que “Si se prolongan en el mismo sentido todos los lados de un polígono convexo, la suma de los ángulos externos es igual a cuatro rectos”.
Para el pentágono habría que demostrar que la (1) + (2) + (3) + (4) + (5) = 360º

Solución.

Geometría (116). ¿Cuánto mide OC?

Foto: Caty Martínez García (Daganzo de Arriba)

https://www.concursoprimavera.es/resources/problemas/problemas-2003-fase2-nivel4.pdf

El problema que sigue puede plantearse a estudiantes de bachillerato. Así se hizo en el “Concurso de Primavera de 2003”. Aquí he cambiado ligeramente el enunciado.
No me parece que sea un problema fácil, pero una vez visto el camino la solución sale de manera espontánea.
En la solución expondré dos formas de resolverlo: ambas emplean argumentos trigonométricos. La primera forma me parece la más fácil: aplico el teorema del seno y algo más; la segunda llega a partir de la semejanza de triángulos.

Problema
En la circunferencia de la figura, de centro O y radio 1, BA es tangente en A a la circunferencia. Si BC es bisectriz del ángulo B, ¿cuánto mide OC en función del ángulo tetha? ¿Cuál sería su valor si tetha vale 60º?

Solución.

Geometría (115). Área sombreada

Foto: Cristina Martínez García (Lisboa)

Vuelvo a plantear un problema sencillo. Para resolverlo se necesita conocer el teorema de Pitágoras y saber operar con radicales.
Puede proponerse a los alumnos de 3º o de 4º de ESO.

Problema
En el interior de un cuadrado de lado 10 cm se dibujan cinco cuadrados como muestra la figura. ¿Cuánto vale el área sombreada?

Solución.

Geometría (114). Área máxima

Foto: José María Martínez García (Portugalete)

Se plantea otro problema de optimización. Por tanto debe plantearse a los alumnos de 2º de bachillerato. Para su resolución hay que utilizar la geometría elemental, la trigonometría y las condiciones de optimización.

Problema
Halla el punto P, del arco AB, con la condición de que el área del triángulo APC sea máxima. (El punto C es la proyección de P sobre el eje OX).

Solución.