Foto: Carmen García Matas (Simat de Valldigna, Valencia)
El problema que sigue no es difícil, aunque no inmediato. Se propuso en la XXXIX Olimpiada Matemática Española.
Puede resultar interesante para los alumnos mayores de Secundaria.
Problema
Las alturas del triángulo ABC se cortan en el punto H. Se sabe que AB = CH. Determinar el valor del ángulo BCA.
Foto: Aitor Merinero (catedral de Cuenca)
El problema que sigue es muy sencillo. Hay que conocer cuánto suman los ángulos de un triángulo y el teorema de Pitágoras. Puede proponerse a los alumnos más jóvenes de Secundaria.
Problema
En el cuadrilátero ABCD se cumple que AB = CD y CB = 8 cm. Además, se conocen los ángulos que se indican. ¿Cuánto valen los ángulos desconocidos? ¿Cuánto vale el área del cuadrilátero?
Foto: Carmen Martínez García (Tenerife)
El problema que sigue se propuso en el Concurso de Primavera 2023. Pienso que es apropiado para estudiantes de Secundaria de cualquier nivel; hay que utilizar relaciones de semejanza de triángulos.
Problema
Se consideran dos cuadrados iguales. Construimos otro cuadrado de lado 6 como indica la figura. ¿Cuánto vale el área del triángulo coloreado?
Foto: Miguel Quintero (El Cairo, iglesia copta)
El problema que sigue se propuso en el Concurso de Primavera 2023. Pienso que es apropiado para estudiantes de Secundaria de cualquier nivel, que conozcan el teorema de Pitágoras y alguna de las propiedades de las tangentes a una circunferencia.
Problema
¿Cuánto vale la distancia entre los centros de las circunferencias inscritas?
Foto: Siân Wiliams (Santorini)
El problema que sigue puede proponerse a estudiantes de Secundaria (3º de ESO en adelante). Se resuelve aplicando el teorema de Pitágoras.
Problema
Si el lado del cuadrado mayor vale 10 cm, ¿cuánto valdrá el lado del cuadrado inscrito? ¿Y el radio del círculo pequeño?
Foto: Antonio Martínez García (Budapest).
El problema que sigue no es inmediato; se propuso en la Olimpiada Matemática Española de 1991.
Su resolución requiere conocer las propiedades del incentro (punto de corte de las bisectrices de un triángulo) y el concepto de arco capaz. También hay que descubrir triángulos iguales y aplicar que la suma de los ángulos de un triángulo vale 180º.
Puede proponerse a los alumnos y profesores de bachillerato con interés por la Geometría.
Problema
Sean A´, B´ y C´ los puntos de tangencia de los lados BC, CA y AB de un triángulo con su circunferencia inscrita. Sea D el punto de intersección de C´A´ con la bisectriz del vértice A. Calcular el valor del ángulo ADC.
Foto: José María Martínez García (Milán)
El problema que sigue se propuso en el XXI Concurso de Primavera de Matemáticas (1ª Fase, nivel III: https://www.concursoprimavera.es/#problemas).
Puede proponerse a estudiantes de Secundaria (3º de ESO en adelante). Se resuelve aplicando el teorema de Pitágoras.
Problema
Con centro en el vértice B del cuadrado ABCD trazamos un arco de circunferencia de radio igual a la longitud del lado del cuadrado. Un punto P de dicho arco dista 8 del lado AD y 1 del lado DC. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?
Foto: Catalina Martínez García (Cangas de Onís, Asturias)
El problema que sigue es relativamente sencillo; aunque hay que tener cierto conocimiento del método de resolución geométrico “con regla y compás”. Puede proponerse a los alumnos del segundo ciclo de Secundaria.
Problema
Construir un cuadrado conociendo que la suma de la diagonal y el lado es el segmento AB.
(Propuesto en la Olimpiada Matemática Española de 1982).
