Geometría (150). Circunferencia de 9 puntos

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Geometría (150). Circunferencia de 9 puntos

Foto: Carmen Martínez García. 

El problema que sigue es un clásico de la Geometría. Pienso que es uno de los retos que todo profesor de Matemáticas debería superar (y no vale con escudarse en el lamentable déficit geométrico de los últimos años, ¿de los últimos 50 años?). No es un problema difícil pero sí artificioso; por tanto, puede que no se resuelva a la primera, pero con paciencia todo llegará.
Para su resolución hay que saber pocas cosas; la más necesaria es conocer que todo triángulo rectángulo puede inscribirse en una circunferencia cuyo diámetro es la hipotenusa de ese triángulo.

 Problema
Dado un triángulo de vértices ABC, cuyo ortocentro es O, se cumple que existe una circunferencia que pasa por los nueve puntos siguientes: los (tres) puntos medios de los lados del triángulo, A´, B´, ; los (tres) puntos que son pies de las alturas del triángulo, P, Q, R; los (tres) puntos medios entre cada vértice y el ortocentro el triángulo, X, Y, Z.

Fig B150.jpg

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Geometría (149). Radio

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Geometría (149). Radio

Foto: Antonio Martínez García, Berlín.

El problema que sigue no es demasiado complicado;  no obstante hay que establecer un par de relaciones entre los distintos radios que intervienen.
Es imprescindible conocer la propiedad de las tangentes a una circunferencia: la recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio correspondiente al punto de tangencia.

Problema
Si el radio del cuadrante es 2, ¿cuánto mide el radio del círculo pequeño?

Fig B149.jpg

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Geometría (148). Razón de radios

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Geometría (148). Razón de radios

Foto: José María Martínez García (Catedral de S. Paul, Minnesota)

El problema que sigue se ha propuesto en la última Oposición para Profesores de Matemáticas en la Comunidad de Madrid (23/06/2018). El enunciado lo he adaptado para los lectores de este blog, buscando una mejor visualización del problema.
Pienso que es un ejercicio atractivo y no demasiado difícil, que puede proponerse a estudiantes de bachillerato.

Problema
En una corona circular se han inscrito ocho circunferencias, tangentes dos a dos (completando toda la corona), ¿cuál es la razón entre los radios de las circunferencias que forman la corona?

Fig B148a.jpg

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Geometría (147). Triángulos equiláteros

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Geometría (147). Triángulos equiláteros

Foto: Antonio Martínez García (Aeropuerto de Madrid, T4)

El problema que sigue pude resolverse combinado los teoremas de Tales  de Pitágoras. Pienso que puede proponerse a todos los estudiantes de Enseñanza Media.

 Problema
Un triángulo equilátero de lado 10 cm se ha troceado, cortando por las líneas marcadas (rojas), para formar tres triángulos equiláteros más pequeños, de lados a, b y c. ¿Cuánto medirá cada uno de los lados de los triángulos nuevos?

Fig B147.jpg

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Geometría (146). Circunferencias

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Geometría (146). Circunferencias

Foto: Carmen García Matas

El problema que sigue es realmente sencillo. Para resolverlo basta con conocer Pitágoras y el modo de hallar el área de un círculo. Puede proponerse a los alumnos más jóvenes.

Problema
Halla el rea de la zona sombreada:

Fig B146.jpg

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Geometría (145). Rebotes

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Geometría (145). Rebotes

Foto: José María Martínez García (Lago Superior, Minnesota)

Es problema que se plantea en este post es una variación de los problemas de las bolas de billar. En Google + compartí (con origen en dmat csc) el problema que vuelvo a enuncia aquí:
¿Qué trayecto debe recorrer la bola A para golpear a la bola B, después de rebotar en una, dos y tres bandas?
La solución viene en https://goo.gl/KSsK2q

El problema no es demasiado complicado, pero requiere cierta intuición. Si consigues resolverlo quizá te animes con la tercera opción, la de tres bandas, del indicado más arriba.

 Problema
¿En qué punto debe rebotar la bola A para impactar en la bola B tocando las dos bandas?

Fig B145.jpg

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Geometría (144). Circunferencias

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Geometría (144). Circunferencias

Foto: Caty Martínez García (Ermita de Nª Sª de los Remedios, Colmenar Viejo, Madrid)

Para resolver el problema que sigue puede utilizarse el llamado teorema de Pitágoras generalizado, que dice: “para cualquier triángulo de lados a, b y c se cumple que a2 = b2 + c2 – 2mc, siendo m la proyección de b sobre c”. Aunque hago la demostración más abajo sugiero que se intente como ejercicio previo.

Problema
Tres semicircunferencias, de diámetros 6, 10 y16, están en la posición que se indica en la figura. Hallar el radio de la circunferencia tangente común a las ellas.

Fig B144.jpg

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Geometría (143). Rombo

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Geometría (143). Rombo

Foto: Carmen Martínez García

Sin apenas tiempo para seleccionar el problema de este post (en muchos lugares se está terminando el curso escolar y el trabajo de evaluar a los alumnos se hace prioritario) he elegido un problema relativamente sencillo. Puede proponerse a los alumnos más jóvenes.

Problema
Una circunferencia de radio 2 cm está inscrita en un rombo cuya diagonal mayor mide 8 cm. ¿Cuánto mide la superficie sombreada?

Fig B143.jpg

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