Geometría (127). Triángulo "circunscrito"

Comment

Geometría (127). Triángulo "circunscrito"

Foto: Carmen Martínez García (Pirineos)

Para resolver el problema siguiente hay que aplicar:
1) La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio correspondiente en el punto de tangencia.
2) El teorema de Pitágoras.
3) El teorema de Tales.

Problema
El triángulo ABC “circunscribe” a dos circunferencias de radios 10 y 6 cm, como se muestra en la figura. Halla su área y su perímetro.

Fig B127.jpg

Comment

Geometría (126). Triángulo con medianas

Comment

Geometría (126). Triángulo con medianas

Foto: Caty Martínez García (Pirineos)

Para resolver el problema siguiente hay que conocer las propiedades relacionadas con las medianas de un triángulo:
1) Las tres medianas se cortan en un punto.
2) Ese punto de corte está a doble distancia del vértice que del punto de corte de cada mediana con el lado opuesto.
Estos resultados se demostraron en el post “Geometría (13)” de este blog.
También hay que utilizar relaciones de semejanza.

Por último, como ya se ha dicho muchas veces, debe advertirse que aunque la solución es fácil de entender no es sencilla de encontrar: hay que tener una idea más o menos brillante.

Problema
¿Qué relación existe entre el área del triángulo ABC y el área del triángulo cuyos lados son las medianas del triángulo ABC?

Fig B126.jpg

Comment

Navidad 2017

Comment

Navidad 2017

Foto: Adrián Santos (Daganzo de Arriba, Madrid)

Así como en tantos sitios la Navidad se ha hecho geometría (con tiras, cuadrados y cajas, con círculos y esferas, parpadeando luces de todos los colores), aquí la Geometría quiere hacerse Navidad. Para ello he elegido dos poemas de Carmelo Guillén Acosta; no sé si pensados para Navidad, pero en Navidad pueden pensarse

Carmelo Guillén Acosta es catedrático de Lengua Castellana y Literatura de Enseñanza Secundaria desde el año 1979… http://www.poetasandaluces.com/profile/206/

EN NOCHE YA CERRADA

En noche ya cerrada, sin llave que la abra,
eres toda silueta y lo sé porque amo.

No necesito más. Sé que aquí hay vida.
La escucho porque llega con el día que quiero.
Y sé que hay cigüeñas. Las oigo crotorar.
Y muros que no ceden; son el lugar del alma.
Y cuestas, y campanas que evocan, cuando paso,
un tiempo que ha quedado impreso en la memoria.

No necesito más. Ni el sueño en el que sueño.
Ni siquiera me importa la emoción del instante.
Ni escuchar otras voces. Me basta la interior.
Ni que dejes de ser. Eres donde yo soy,
tan conforme a mi imagen que, cuando voy a ti,
me invade la certeza de que tú eres quien viene.

En noche ya cerrada, tu inmaterialidad
es luz, espacio anímico. ¿Para qué la mirada? 
Te he conformado en mí. Tú me has hecho a tu modo.
De igual a igual, todo lo demás sobra.


MISTERIO GOZOSO (2)

Mas qué le podré llevar
a ese Niño soberano
que, por ser Dios, tiene a mano
todo lo que quiere y más.

¡No me voy a presentar
sin nada en ninguna mano,
como un simple publicano
en el Portal!

Aunque si voy de mendigo,
sin ni siquiera un abrigo,
seguro que me dará
el cariño que me pide
para que nunca me olvide
de darle lo que me da.

FELIZ NAVIDAD

Comment

Geometría (125). Punto interior

Comment

Geometría (125). Punto interior

Foto: Antonio Martínez García (Montejo de la Vega; Segovia)

El problema que sigue, como tantas veces hemos expresado en este Blog, es sencillo cuando se ha resuelto. Pero antes hay que resolverlo. Se puede hacer dibujando, trazando paralelas … Después hay que saber establecer las relaciones métricas adecuadas.

Problema
Desde un punto P interior a un triángulo equilátero ABC se trazan las perpendiculares PD, FE y PF a los lados BC, CA y AB, respetivamente. ¿Cuánto vale la razón (PD + PE + PF)/(BD + CE + AF)?

Fig B125.jpg

Comment

Geometría (124). Secantes

Comment

Geometría (124). Secantes

Foto: Adrián Santos (Martín pescador)

El problema que sigue, aunque es relativamente sencillo, puede resultar extraño a los estudiantes de secundaria. Si se dice que está relacionado con la “potencia de un punto a una circunferencia” es posible que a algunos se les despierte el entendimiento.
Dando la pista de que está relacionado con la semejanza de triángulos podría proponerse a los alumnos de 3º de ESO en adelante.

Problema
Dos cuerdas, AB y AC, de una circunferencia se cortan en un punto P, interior a ella. Demuéstrese que los productos AP · PB y CP · PD valen lo mismo. (Demostrar también que las medidas de esos cuatro segmentos no pueden venir dadas por cuatro números consecutivos).

Fig B124.jpg

Comment

Geometría (123) Triángulo

Comment

Geometría (123) Triángulo

Foto: Caty Martínez García (Zumaia)

Problema propuesto en la XXIV Olimpiada Matemática de Albacete (FF. (14/16) Problema 1).
https://app.box.com/s/o53b82zpmqzhoiwejaom

El problema que sigue es relativamente sencillo. Puede proponerse a los alumnos de 3º y 4º de ESO. Requiere la aplicación de la relación de semejanza y del teorema de Pitágoras. Me he permitido resumir el enunciado, que dice lo que sigue:

Problema
Si el lado de cada cuadrado es 1 cm, ¿cuánto mide el área del triángulo ABC?

Fig B123.jpg

Comment

Geometría (122). Entre circunferencias

Comment

Geometría (122). Entre circunferencias

Foto: Antonio Martínez García

Problema propuesto en el XXXIV Concurso “Puig Adam” NIVEL I (3º de E.S.O.) Primera parte
http://www.ucm.es//data/cont/media/www/pag-81199//2016_problemas.pdf

El problema que sigue es de los sencillos. Puede hacerse aplicando el teorema de Pitágoras, pero hay que saber encontrar el triángulo rectángulo al que aplicarlo.
Puede proponerse a los alumnos de 3º y 4º de ESO. Como muchos de ellos serán capaces de resolverlo es posible que se animen con otros más difíciles.

Problema
En la figura siguiente se observan dos circunferencias tangentes interiores y un cuadrado, uno de cuyos lados es tangente a la circunferencia pequeña, estando los vértices opuestos a ese lado en la circunferencia mayor. Si los radios de las circunferencias son 50 cm y 35 cm, calcula la longitud del lado del cuadrado.

Fig B122.jpg

Comment

Geometría (121). Trapecio

Comment

Geometría (121). Trapecio

Foto: José María Martínez García (Segovia)

Problema propuestos en el XXXIV Concurso “Puig Adam” NIVEL I (4º de E.S.O.) Primera parte

Se trata de un problema relativamente sencillo, aunque requiere cierta destreza en la aplicación de las cuestiones de geometría elemental (fórmulas de áreas y aplicación de Tales). Si se acierta con la asignación de las medidas iniciales el problema se simplifica bastante.
Puede plantearse a los alumnos de ESO, desde el 2º curso; y a los de Bachillerato.

Problema
El trapecio ABCD de la figura siguiente verifica que el cociente entre las longitudes de las bases es BC/AD = 5/7. Los puntos E y F están en los lados CD y DA respectivamente y verifican que CE/ED = 2/3, AF/FD = 4/3. Si el área del cuadrilátero ABEF es 123, calcula el área del trapecio.

Fig B121.jpg

Comment