Geometría (143). Rombo

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Geometría (143). Rombo

Foto: Carmen Martínez García

Sin apenas tiempo para seleccionar el problema de este post (en muchos lugares se está terminando el curso escolar y el trabajo de evaluar a los alumnos se hace prioritario) he elegido un problema relativamente sencillo. Puede proponerse a los alumnos más jóvenes.

Problema
Una circunferencia de radio 2 cm está inscrita en un rombo cuya diagonal mayor mide 8 cm. ¿Cuánto mide la superficie sombreada?

Fig B143.jpg

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Geometría (142). Ángulo

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Geometría (142). Ángulo

Foto: Cristina Martínez García (Colegio Tajamar, Madrid)

XXª OLIMPIADA de MAYO (Primer Nivel) Mayo 2014.
https://www.concursoprimavera.es/resources/olimpiada_mayo/olimpiadamayo-2014-problemas-nivel1.pdf

El problema que sigue, como indico arriba, se propuso en la Olimpiada de Mayo de 2014. Me he permitido cambiar la pregunta: allí se pedía la medida del ángulo CAP; aquí se pide la del ángulo CPA.
No es un problema difícil, pero pienso que es interesante: trae a la memoria de los alumnos la semejanza de triángulos y alguna de las propiedades de los triángulos isósceles. Podría proponerse a los alumnos de cualquier curso de secundaria.

Problema
Sea ABC un triángulo rectángulo e isósceles, con C = 90º. Sean M el punto medio de AB y N el punto medio de AC. Sea P tal que MNP es un triángulo equilátero con P en el interior del cuadrilátero MBCN. Calcular la medida del ángulo CPA.

Fig B142.jpg

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Geometría (141). Cartulinas

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Geometría (141). Cartulinas

Foto: Antonio Martínez García (Presa de Bolarque, Guadalajara) 

El problema que sigue es un pequeño entretenimiento. Puede proponerse a todos los estudiantes (y a los no estudiantes). 

Problema
Haz un corte en cada cartulina (solo uno) de forma que queden seis trozos que puedan juntarse para formar un cuadrado.

Fig B141.jpg

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Geometría (140). Circunferencias

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Geometría (140). Circunferencias

Foto: Adrian Santos López 

Para resolver el problema de este post hay que conocer la propiedad de la tangente a una circunferencia y el teorema de Pitágoras. Para ello hay que descubrir triángulos rectángulos; como no es algo inmediato es posible que no salga con facilidad. Quizás esto aconseje proponerlo a los alumnos mayores: de 4º de ESO y de bachillerato.

Problema
Tres circunferencias de radios 2, 3 y 4 cm son tangentes exteriores dos a dos. La recta tangente común interior a las circunferencias de radios 2 y 4 corta a la otra circunferencia en dos puntos P y Q. ¿Cuánto mide la cuerda PQ?

Fig B140.jpg

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Geometría (139). Longitud

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Geometría (139). Longitud

Foto: Carmen García Matas (Gandia, Valencia)

Propuesto en algún concurso matemático en la Comunidad de Madrid (25 de noviembre de 2005).

El problema que sigue puede plantearse para estudiar las propiedades de las tangentes a una circunferencia; además hay que usar los teoremas de Pitágoras y Tales (semejanza). Es bastante sencillo y resulta adecuado para los alumnos de 14 y 15 años, de 2º o 3º de ESO.

Problema
El lado del cuadrado ABCD de la figura tiene longitud 2. Con diámetro el lado AB, trazamos una circunferencia de la que CE es tangente. ¿Cuál es la longitud de CE?

Fig B139.jpg

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Geometría (138). Triángulo

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Geometría (138). Triángulo

Foto: José María Martínez García. (St. Paul, Minnesota)

XXIV Olimpiada Matemática de Albacete https://app.box.com/s/o53b82zpmqzhoiwejaom
(En la página web indicada se dan los enunciados y soluciones de todos los problemas propuestos en el concurso. Aparecen también algunas fotografías de los alumnos participantes y de los organizadores).

Las Olimpiadas Matemáticas son un magnífico instrumento para que muchos alumnos y alumnas se aficionen a las Matemáticas. Sobre dichos eventos pueden pregonarse muchas cosas positivas (su buena organización; el cuidado en la redacción y presentación de los problemas; el acierto en los niveles de dificultad; el entusiasmo y el gran espíritu de compañerismo entre los participantes; …), pero la fundamental es el esfuerzo altruista de los profesores y profesoras que animan y preparan a sus alumnos; y también de los organizadores.

El problema que se sigue es relativamente sencillo. Resulta apropiado para trabajar la proporcionalidad (teorema de Tales). Puede proponerse a los alumnos de 2º o 3º de ESO.

Problema
En un triángulo se ha trazado una línea que divide a la base en dos partes que están en relación 2 a 3 (es decir, que la de la derecha mide 3/5 del total y la de la izquierda, 2/5 del total), y divide al lado de la izquierda en dos partes que están en relación 1 a 2 (la de arriba mide la mitad que la de abajo). El triángulo pequeño que así se forma tiene un área de 8 u2.
Averigua lo que medía el triángulo grande original (antes de dividirlo).

Fig B138.jpg

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Geometría (137). Trapecio

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Geometría (137). Trapecio

Foto: Jimena Martín García (Córdoba,España)

El problema que sigue se propuso en la Fase local (Madrid) de la LIII Olimpiada Matemática Española. Pienso que no es fácil. A mí no me ha salido a la primera, ni a la segunda… Hasta que a la tercera o la cuarta lo vi como algo sencillo. (Como ya he indicado varias veces, que un problema pase de difícil a fácil se consigue con perseverancia, con estudio y trabajo: “que la inspiración te pille trabajando”).
La matemática necesaria para su resolución es bastante elemental: basta con conocer cómo se calcula el área de un triángulo.

Problema
Dividimos el trapecio de la figura en cuatro triángulos trazando las diagonales. Si X e Y son las áreas de los triángulos sombreados, obtén en función de X e Y el área del trapecio.

Fig B137.jpg

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Geometría (136). Triángulos

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Geometría (136). Triángulos

Foto: Carmen Martínez García

El problema que se sigue es bastante fácil. Puede proponerse a los alumnos más jóvenes, para que se animen, comprobando que a ellos también les puede salir un problema.
Para su resolución solo se requiere conocer los teoremas de Tales y de Pitágoras. Para aplicar Tales deben descubrir triángulos semejantes, que en este caso es casi inmediato.

Problema
¿Cuánto mide el área de cada uno de los triángulos sombreados? El rectángulo tiene base 4 y altura 3.

Fig B136.jpg

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