Geometría (174). Tangente común (I)

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Geometría (174). Tangente común (I)

Foto: Carmen Martínez García

En las próximas semanas voy a proponer algunos problemas de “regla y compás”; problemas que hay que resolver aplicando relaciones métricas y propiedades geométricas conocidas. Estos problemas no son difíciles cuando están resueltos, aunque pueden resultar agobiantes si no se encuentra la solución que se intuye pero se escapa…
Además, como saben los aficionados a la Geometría, son problemas que suelen presentar soluciones creativas y distintas. Por tanto, ánimo y suerte.

El problema que sigue es el más sencillo. En sus dos primeros apartados puede proponerse a los alumnos de 3º de ESO; el tercer apartado puede resultar más difícil.

Problema
Dadas dos rectas r y s y un punto A de r, trazar una circunferencia que sea tangente común a ambas rectas y que pase por A. Considera los tres casos siguientes:
1) Las rectas r y s son paralelas.
2) Las rectas r y s pueden prolongarse hasta encontrarse en un punto V.
3) Aunque la opción 2) siempre es posible, considera el supuesto en el que no hay espacio físico para que las rectas se corten: el vértice no es accesible; esto es, no hay posibilidad de encontrar V.

Fig B174.jpg

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Geometría (173). Triángulo (área)

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Geometría (173). Triángulo (área)

Foto: Carmen García Matas (Sigüenza, Guadalajara)

XXIII CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS (NIVEL IV: BACHILLERATO)
https://www.concursoprimavera.es/resources/downloads/CI9k9xf2DVJOcG6S/problemas-2019-fase1-nivel4.pdf

Para resolver este problema hay que conocer las propiedades de las “rectas notables” de un triángulo. También hay que descubrir triángulos semejantes y …
Este problema se propuso a los alumnos de Bachillerato, pero podría resolverse con los conocimientos de 3º de ESO.

Problema
En cierto triángulo, una bisectriz de longitud 7 es perpendicular a una mediana de longitud 8. ¿Cuál es el área del triángulo?

Fig B173.jpg

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Geometría (172). Polígonos

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Geometría (172). Polígonos

Foto: Carmen Martínez García (Medinaceli, Soria)

XXVI Olimpiada Matemática Provincial de Albacete,
http://scmpm.blogspot.com/p/problemas-de-la-olimpiada-matematica.html

En la Olimpiada Matemática de Albacete se descubre una cuidada colección de problemas, adecuados para los alumnos de Primaria y ESO. Todos los enunciados y soluciones están publicados por el profesor Juan Martínez-Tébar Giménez (la publicación se distribuye de forma gratuita al profesorado de matemáticas de los centros de secundaria de Castilla la Mancha).
En la página web que se indica más arriba pueden descargarse.
El problema que sigue se propuso a los alumnos de 14 a 16 años.  

Problema
Observa las figuras y contesta razonadamente a las siguientes preguntas:
a) ¿Qué indican los números 1/4 y 1/2?
b) ¿Cuál es el valor correspondiente a los hexágonos regulares?

Fig B172.jpg

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Geometría (171). Rombos

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Geometría (171). Rombos

Foto: Antonio Martínez Garcia (San Juan de Duero, Soria)

El problema que sigue se propuso en la XXIII OLIMPÍADA de MAYO (Primer Nivel, Mayo de 2017): https://www.concursoprimavera.es/resources/olimpiada_mayo/olimpiadamayo-2017-problemas-nivel1.pdf

Se trata de un problema sencillo, que puede proponerse a los alumnos más jóvenes (desde 1º de ESO). Como en tantos problemas de Geometría, el primer paso es hacer un dibujo que se ajuste al enunciado; después serán necesarios algunos conocimientos básicos (Pitágoras y algo de áreas).

 Problema
Sea ABCD un rombo de lados AB = BC = CD = DA = 13. Sobre el lado AB se construye el rombo BAFE, exterior al ABCD y tal que el lado AF es paralelo a la diagonal BD del ABCD. Si el área del BAFE es igual a 65, calcular el área del ABCD.

Fig B171.jpg

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Geometría (170). Triángulo

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Geometría (170). Triángulo

Foto: José María Martínez García (Saint Paul, Minesota)

El problema que sigue se propuso en la XLIX OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA, Comunidad de Madrid, FASE CERO: viernes 23 de noviembre de 2012:
https://www.ucm.es/data/cont/media/www/pag-81213/XLIX_OME_Madrid_1_Sesion.pdf

No es difícil, aunque tampoco resulta inmediato. Hay que utilizar nociones de semejanza, Tales, Pitágoras y la propiedad del baricentro de un triángulo. Puede proponerse a alumnos que tengan ciertos conocimientos de Geometría, y además deseo de superar los pequeños retos que se generan aquí. Estimo que puede proponerse a partir de 3º de ESO.

Problema
La figura adjunta muestra el triángulo equilátero ABC, su circunferencia inscrita y el segmento DE perpendicular al lado AC y tangente a la circunferencia inscrita; el punto D sobre el lado AB y el E sobre el lado AC. Si AE = 1, halla la longitud del lado del triángulo ABC.

Fig B170.jpg

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Geometría (169). Estrella

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Geometría (169). Estrella

Foto: María Jesús Zarza (Catedral de Berlín)

El problema que sigue puede proponerse a partir de 2º de ESO: es más sencillo de lo que parece.
Basta con saber deducir la medida de los ángulos que se obtienen al dibujar la estrella (surgen ángulos de 60º y de 90º); también hay que saber halar el área de un hexágono regular.

Problema
Dentro de un dodecaedro regular de lado 2 se ha dibujado la estrella de la figura. ¿Cuánto mide su área?

Fig B169.jpg

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Geometría (168). Cuadrado y triángulo

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Geometría (168). Cuadrado y triángulo

Foto: Carmen García Matas. (Roma, Panteón)

El problema que se sigue se propuso en la 17ª OLIMPIADA MATEMÁTICA de EUSKADI
(Dirigida al alumnado de 2º de E.S.O.) "EDUARDO CHILLIDA"
http://www.berritzegunenagusia.eus/mateolinpiada/markoa_c.htm

Es un problema sencillo pero interesante. Requiere conocimientos de triángulos: cálculo de su circuncentro; medida de sus ángulos …
Puede plantearse a alumnos 2º de ESO en adelante.

Problema
La figura adjunta representa un cuadrado con un triángulo equilátero adyacente y luego se dibuja la circunferencia circunscrita a ambos. Se pide:
a) Localizar el centro de esa circunferencia, justificando su localización.
b) Calcular el valor de su radio.
Por comodidad de operaciones asignamos el valor unidad al lado del cuadrado y del triángulo.

Fig B168.jpg

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Geometría (167). Tableros

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Geometría (167). Tableros

Foto: José María Martínez Garcia, St. Louis (Missouri)

El problema que se sigue se propuso en la XIX OLIMPIADA DE CANTABRIA 2015
http://sociedadmatematicacantabria.es/wp-content/uploads/2015-19_Olimpiada_Matematica.pdf

Se trata de un problema sencillo (se planteó a alumnos de 2º de ESO) que da lugar a un par de ecuaciones. Puede plantearse a un grupo de alumnos de ese nivel para que lo comenten y resuelvan entre ellos.

Problema
Se tiene un rectángulo formado por la unión de 9 tableros de ajedrez de distintos tamaños y no superpuestos, como vemos en la figura. Si el tablero más pequeño es 2 cm × 2 cm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Fig B167.jpg

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