Geometría (45). Semejanza

Foto: Eugenio Martín Miranda (Lisboa, Monasterio de los Jerónimos)

XXI Olimpiada Matemática Asturiana.
http://www.pedrayes.com/index.php/olimpiada/descargas

El problema que sigue es relativamente sencillo. Puede ser apropiado para alumnos de 2º de ESO en adelante. Asi, por ejemplo, puede venir bien para aquellos alumnos que cursen la asignatura de Ampliación de Matemáticas de 3º de ESO.
Para su resolución se necesita conocer y manejar con soltura el teorema de Tales: la proporcionalidad de segmentos.

Problema
En la figura que se adjunta se tiene que:  AA1 = 5 cm;                    BB1 = 3 cm
Se pide calcular la medida del segmento OH.

Solución.

Geometría (44). Pentágonos

Foto: Carmen García Matas (Mediterráneo en Daimuz, Valencia)

XXI Olimpiada Matemática Asturiana
http://www.pedrayes.com/index.php/olimpiada/descargas

El problema que se propone a continuación es relativamente sencillo; puede ser apropiado para alumnos a partir de 2º de ESO. Para su resolución se necesita conocer las siguientes cuestiones:
1. La suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
2.Valor de cada ángulo cuando el polígono es regular.
3. Relación entre el número de lados de un polígono regular y el valor de cada ángulo.
Y lo imprescindible, como siempre, deseo de resolver el problema.

Problema
Ramón tiene piezas de plástico iguales, con la forma de un pentágono regular. Las va disponiendo en círculo, como en la figura. ¿Cuántas piezas necesita para cerrar el círculo?

Solución.

Geometría (43). Radios de circunferencias

Foto: Carmen García Matas (Daimuz, Valencia)
FELIZ AÑO NUEVO A TODOS

XLII Olimpiada Matemática Española. Madrid 2005 (Fase local)
 http://www.sociedadpuigadam.es/puig/olimpiada/enunciados_madrid_2005.html

El problema que sigue es más aparatoso que difícil. Inicialmente da la sensación de no saber cómo afrontarlo, pero teniendo en cuenta la propiedad de la tangente a la circunferencia y el teorema de Tales resulta más o menos asequible.
Puede ser apropiado para alumnos de 3º de ESO en adelante.

Problema
En la figura adjunta se observa que las cinco circunferencias tangentes entre sí, además son tangentes a las rectas L1 y L2. Si el radio de la circunferencia pequeña es 8 y el de la mayor 18, el radio de la del medio es:
 A) 12        B) 12,5         C) 13           D) 13,5          E) 14         

Solución.

Geometría (42). Geometría divina

Foto: Antonio Martínez García (Portada de "Los Jerónimos", Madrid)

Dios sabe triangular. 

Te copio un soneto de Lope de Vega:

¿QUÉ TENGO YO QUE MI AMISTAD PROCURAS?
¿QUÉ INTERÉS TE SIGUE JESÚS MÍO,
QUE A MI PUERTA CUBIERTA DE ROCÍO
PASAS LAS NOCHES DE INVIERNO OSCURAS?

¡OH, CUÁNTO FUERON MIS ENTRAÑAS DURAS
PUES NO TE ABRÍ! ¡QUÉ EXTRAÑO DESVARÍO
SI MI INGRATITUD EL HIELO FRÍO
SECÓ LAS LLAGAS DE TUS PLANTAS PURAS.

¡CUÁNTAS VECES EL ÁNGEL ME DECÍA:
“ALMA, ASÓMATE AGORA A LA VENTANA,
VERÁS CON CUÁNTO AMOR LLAMAR PORFÍA”

Y CUÁNTAS, HERMOSURA SOBERANA:
“MAÑANA LE ABRIREMOS” RESPONDÍA,
¡PARA LO MISMO RESPONDER MAÑANA!

Hoy no puedo darte la solución, pero te deseo

Geometría (41). Semicircunferencia

Foto: Adina Marín, Lisboa

 XLII Olimpiada Matemática Española. Madrid 2005 (Fase local)

El problema que sigue no es difícil, pero requiere cierta claridad de ideas, pues se entremezclan las propiedades de las tangentes comunes a una circunferencia, el teorema de Pitágoras y el de Tales (semejanza).

Puede ser apropiado para alumnos de 3º de ESO en adelante, siempre que estén interesados. En este sentido me permito citar a George Pólya: “Un ingrediente esencial del problema es el deseo, la decisión y la voluntad de resolverlo. Un problema se convierte en vuestro problema, lo poseéis verdarderamente, cuando decidís abordarlo, cuando deseáis resolverlo”
(Este blog lo escribo, por pura coincidencia, el día de su nacimiento, el 13 de diciembre de 1887, en Budapest; murió en 1985, en Palo Alto, California).

Problema
El lado del cuadrado ABCD de la figura tiene longitud 2. Con diámetro el lado AB, trazamos una circunferencia de la que CE es tangente. ¿Cuál es la longitud de CE?

Solución.

Geometría (40). Medianas

Foto: Cristina Martínez García (Montejo de la Vega, Segovia)

XLVI Olimpiada Matemática Española. Murcia 2010
http://www.um.es/ome-murcia/46olimpiada/XLVI_OME/46_OME_MURCIA.html
 

El problema que sigue tiene una dificultad media. Para resolverlo hay que conocer qué son las medianas de un triángulo y cuáles son las relaciones de generan entre longitudes y áreas.
Básicamente son dos:
- Las medianas se cortan en un punto, el baricentro.
- Ese punto divide cada medina en dos trozos en la razón 2 : 1.
(Puede verse la entrada nº 13 de este Blog).

Problema           
En un triángulo de vértices A, B y C se sabe que la longitud del lado AB es 5, que el área es 18 y que las medianas por A y por B son perpendiculares entre sí. Hallar las longitudes de los otros dos lados, lados BC y AC.

Solución.

Geometría (39). Triángulos y circunferencia

Foto: Cristina Martínez García (Hornuez, Segovia)

XLII Olimpiada Matemática Española. Madrid (fase local, 2005)

El problema que sigue es bastante sencillo. Para su resolución solo es necesario deducir las relaciones entre las bases de los dos triángulos considerados. Puede proponerse a alumnos de 2º de ESO en adelante.

Problema
Sea AB un diámetro de una circunferencia y C un punto de él con 2 · AC = BC. Si D y E son extremos de otro diámetro, de forma que DC es perpendicular a AB, el cociente entre el área del triángulo DCE y el área del triángulo ABD es:
              A) 1/6           B) 1/4          C) 1/3            D) 1/2            E) 2/3

Solución.

Geometría (38). Dos rectángulos

Foto: Adina Marín (Catedral de La Almudena. Madrid)

(LI Olimpiada Matemática Española. Madrid (fase local)
http://www.sociedadpuigadam.es/puig/nueva_web/olimpiada2.php?id_concurso=1

El problema que sigue no es inmediato. Requiere cierta habilidad para “ver” relaciones pitagóricas en los triángulos que se forman. Y también destreza en el manejo de ecuaciones. Por ello puede resultar apropiado para alumnos de 4º de ESO en adelante.

Problema.
En el interior del cuadrado ABCD, de lado 1, dibujamos dos rectángulos iguales, AEFD y GHIJ. ¿Cuánto mide el segmento AE?

Solución.