Geometría (37). Más Pitágoras

Foto: Carmen Martínez García (Notre Dame, París)
(Ayer fueron asesinadas 127 personas en París: #PrayforParis)

(XVIII Concurso de Primavera)
http://www.sociedadpuigadam.es/primavera/problemas/2014/2014_1_nivel4.pdf

Los dos problemas que planteo a continuación son muy sencillos. Pueden hacerse a partir de 1º de  ESO, pues solo requieren saber utilizar el teorema de Pitágoras; aunque el primero puede hacerse más fácilmente. Como siempre también es necesario un ligero toque de ingenio, pero eso se da por supuesto a los habituales de este blog.

Problema 1. (XVIII Concurso 2ª Fase Nivel II)
En el dibujo se ven dos circunferencias tangentes entre sí descansando sobre un cuadrado. Si los radios de las circunferencias son 10 cm y 7 cm, ¿cuál es el área, en cm2, del cuadrado?

Problema 2. XVIII Concurso 1ª Fase (Nivel IV)
Sobre los lados de un triángulo rectángulo e isósceles se construyen tres cuadrados, como muestra la figura. Si la distancia entre los vértices A y B es de 16 cm, ¿cuál es el área ocupada por los cuatro polígonos?

Solución.

Geometría (36). Ángulo

Foto: Carmen Martínez García (París)

(LI Olimpidad Matemática Española, prueba de selección)(http://www.olimpiadamatematica.es/platea.pntic.mec.es/_csanchez/olimp2015_archivos/primera_fase_problemas/viernes-sabado.pdf)

El problema que se plantea a continuación no es difícil. Puede proponerse a lumnos de 2º o 3º de ESO. Una de sus soluciones se obtiene a partir de la propiedad del ángulo inscrito en la circunferencia.

Problema
El triángulo ABC, inscrito en una circunferencia, es isósceles en C. Sea M el punto medio del arco BC de la circunferencia que no contiene a A, y sea N el punto donde la paralela a AB vuelve a cortar a la circunferencia. Se sabe que AN es paralela a BC. ¿Cuáles son las medidas del ángulo ABC?

Solución.

Geometría (35). Más de Tales

Foto: Cristina Martínez García (Santillana del Mar, Cantabria)

(Del XIX Concurso de Primavera de Matemáticas)

El problema que se plantea a continuación puede hacerse aplicando el teorema de Tales, pero aplicándolo varias veces. También hay que saber lo que es la mediana y cómo se calcula el área de un triángulo.
Supongo que a los lectores de este blog les resultará relativamente sencillo, pero, como casi siempre, nada es sencillo hasta que no se termina de resolver.
Puede plantearse a alumnos interesados de 2º de ESO; también en Ampliación de Matemáticas de 3º de ESO.      

Problema
En el triángulo ABC, de área 48, P es el punto medio de la mediana AM y N el punto medio del lado AB. ¿Cuál es el área del triángulo MDP?

Solución.

Geometría (34). Cuadrados

Foto: Carmen Martínez García (Praga)

LI Olimpiada Matemática española (Comunidad de Madrid, Fase cero).

El problema que se plantea a continuación es relativamente sencillo. Se puede hacer a partir de 1º de ESO (siempre que se tenga interés). Para resolverlo basta con relacionar de manera conveniente las longitudes de los lados de cuadrados y rectángulos.

Problema
En el interior del cuadrado ABCD de área 196 hay dos cuadrados que se solapan como muesta la figura. Si el área del mayor de los dos es el cuádruple de la del menor y el área de la región común a ambos es 1, ¿cuál es el área de la región sombreada?

Solución.

Geometría (33). Rotando

Foto: Antonio Martínez García

XIX Concurso de Primavera de Matemáticas

El problema que se plantea a continuación no es sencillo. Es el típico problema que puede calificarse como de idea feliz: se nos debe ocurrir algo (no inmediato) que a posteriori, una vez visto, resulta bastante fácil. 
Los conocimientos matemáticos que se necesitan para su resolución son bastante elementales: igualdad de triángulos; propiedad de la altura de un triángulo; ángulos entre paralelas… Su única dificultad puede ser el peligro de desconexión: que el alumno (o el profesor) que se enfrente a él piense que es muy complicado y/o que no merece la pena perder el tiempo. A primera vista puede que sea así, pero una vez resuelto la satisfacción que proporciona supera a la posible desgana inicial. Por tanto, ánimo.

Problema
Sean r y s dos rectas paralelas, y A un punto fijo a igual distancia de ambas rectas. Para cada punto B de la recta r, sea C el punto de la recta s tal que el ángulo BCA = 90º, y sea P el pie de la perpendicular desde A sobre la recta BC. Demuestra que, independientemente de qué punto B de la recta tomemos, el punto P está sobre una circunferencia fija.
Observación: Aunque el enunciado no presenta ningún dibujo, el siguiente ayuda a entender el problema.

Solución.

Geometría (32). Dibujando

Foto: Carmen García Matas (Reinosa, Cantabria)

Del XVIII Concurso de Primavera (Madrid 2014)

El problema que se plantea en este post es relativamente sencillo. Es similar al que se propuso en el post anterior; aunque en este caso, en vez de partir hay que repetir. Y después, observar.

Problema
En el rectángulo de la figura, uniendo vértices con puntos medios de los lados hemos definido un romboide en el centro. Si el área del rectángulo es de 60 cm2, ¿cuánto valdrá la del romboide?

Solución.

Geometría (31). Redibujando

Foto: Catalina Martínez García (Roma)

Del XIX Concurso de Primavera (Madrid 2015)

El problema que se plantea en este post es “muy sencillo”; o quizá no tanto. De hecho se planteó a los alumnos de 5º y 6º de Primaria; y también, con otro texto, a los de 1º y 2º de ESO.
Se puede hacer partiendo (redibujando) la figura dada en otras más pequeñas, todas ellas de la misma forma. De hecho, la figura que se adjunta en el problema parece sugerir algún tipo de partición, ¿pero es tan evidente como para proponerlo a niños de 5º y 6º de Primaria?
Yo he hecho la prueba con alumnos de 3º de ESO y el resultado ha sido negativo. No obstante, una vez resuelto, todos lo han entendido, y la gran mayoría ha dicho que era sencillo, pero…
Y así ha sido, pues después de dar la solución del que se propuso a los alumnos de Primaria han sido capaces de resolver el propuesto en el primer ciclo de ESO.

Los problemas planteados fueron:

Problema propuesto a los alumnos de 5º y 6º de Primaria
El hexágono regular inscrito en la estrella tiene un área de 24 cm2. El área, en cm2, de la estrella es:
                         A) 27             B) 30               C) 32               D) 36                E) 40

Problema propuesto a los alumnos de 1º y 2º de ESO
En la figura vemos una estrella de seis puntas con un área de 720 mm2. ¿Cuál es el área, en mm2, de la punta de flecha sombreada?
                             A) 30              B) 32             C) 36                 D) 40              E) 48

Solución.

Geometría (30). Cociente de áreas

Foto: Eva Alonso Botija (París)

LI Olimpiada Matemática Española (Fase Local)

El problema que se plantea a continuación no es sencillo. Tampoco es difícil, pero hay que realizar un par de procesos que no son inmediatos.
Inicialmente hay que tener una “idea”; a continuación hay que descubrir triángulos semejantes; y, por último, hacer algunos cálculos…
Para resolverlo necesitas saber:
1) Los teoremas de Pitágoras y de Tales, y aplicarlos a la situación.
2) Manejar relaciones de proporcionalidad.
3) Operar con radicales.

Problema
Sobre los lados de un triángulo rectángulo, de catetos uno doble que el otro, dibujamos cuadrados hacia fuera, como se muestra en la figura. El polígono obtenido lo inscribimos en un rectángulo como puede observarse en la citada figura. ¿Cuál es el cociente entre el área del polígono sombreado y el área del rectángulo en el que está inscrito?

Solución.