Geometría (355). Demostración

Foto: Aitor Merinero

El problema que sigue está relacionado con la potencia de un punto respeto a una circunferencia. La primera parte del problema es una demostración; la segunda, una simple aplicación de lo demostrado. Su resolución no es difícil.
Puede proponerse a estudiantes de Secundaria, digamos a partir de 14 año (desde 3º de ESO).

Problema:
Dos cuerdas (AB y CD) de una circunferencia se cortan en un punto P.
1.    Demuestra que PC · PD =PA · PB.
2. ¿Es posible que las longitudes de los segmentos PA, PC, PD y PB sean cuatro números naturales consecutivos?

Solución.

Geometría (354). Ángulos

Foto: Carmen García Matas

El problema que sigue está relacionado con los ángulos inscritos en una circunferencia. Es bastante sencillo; puede proponerse a estudiantes de Secundaria.

Problema:
¿Qué relación hay entre los ángulos x e y?

Solución.

Geometría (353). Cuerdas.

Foto: José María Martínez García (Lago Michigan)

El problema que sigue está relacionado con los ángulos inscritos en una circunferencia y con el teorema de la altura de un triángulo rectángulo. Puede proponerse a estudiantes de Secundaria.

Problema:
Demostrar que los cuadrados de las longitudes de las cuerdas que parten del extremo de un diámetro, son proporcionales a las longitudes de las proyecciones de esas cuerdas sobre el diámetro.

Solución.

Geometría (352). Triángulo inscrito

Foto: Carmen Martínez García (Nuestra Señora de Salas, Huesca)

El problema que sigue está relacionado con los ángulos inscritos en una circunferencia; además, en su resolución interviene el teorema de Tales.

Problema
Demostrar que para cualquier triángulo de lados a, b y c, inscrito en una circunferencia, se cumple que a · b = h · d, siendo h la altura del triángulo sobre el lado c y d el diámetro de la circunferencia.

Solución.

Geometría (351). Cuerdas

Foto: Siân Williams (Bath, Inglaterra)

El problema que sigue es sencillo; es una aplicación el teorema de Pitágoras.

Problema:
En una circunferencia, dos cuerdas paralelas miden 32 y 24 cm y distan entre sí 4 cm. Halla el radio de la circunferencia.

Solución.

Geometría (350). Cuadrilátero

Foto: Antonio Martínez García (Lago di Como, Italia).

El problema que sigue es relativamente sencillo. Puede proponerse a estudiantes de Secundaria.

Problema:
Halla la medida de los lados del cuadrilátero ABCD, circunscrito a una circunferencia de radio 2 cm, sabiendo que su área es 18 cm2.

Solución.

Geometría (349). Inscribir triángulo.

Traslado del féretro del Romano Pontífice Francisco a la Basílica Vaticana

El problema que sigue requiere cierto ingenio. Puede proponerse a estudiante de Bachillerato.

Problema:
Dibujar un triángulo del que se conocen los puntos de intersección de las prolongaciones de la bisectriz (B), la mediana (M) y la altura (A) que parten de un mismo vértice, con la circunferencia circunscrita al triángulo.

Solución.

Geometría (348). Doble ángulo

Foto: José María Martínez García (Zorita de los Canes, Guadalajara).

El problema que sigue requiere cierto ingenio. Puede proponerse a estudiante de Bachillerato.

Problema:
Se consideran una recta AB y dos puntos C y D no pertenecientes a esa recta. Hallar, con regla y compás, el punto P de la recta de modo que el ángulo CPA sea doble que el ángulo DPB.

Solución.