Geometría (31). Redibujando

Foto: Catalina Martínez García (Roma)

Del XIX Concurso de Primavera (Madrid 2015)

El problema que se plantea en este post es “muy sencillo”; o quizá no tanto. De hecho se planteó a los alumnos de 5º y 6º de Primaria; y también, con otro texto, a los de 1º y 2º de ESO.
Se puede hacer partiendo (redibujando) la figura dada en otras más pequeñas, todas ellas de la misma forma. De hecho, la figura que se adjunta en el problema parece sugerir algún tipo de partición, ¿pero es tan evidente como para proponerlo a niños de 5º y 6º de Primaria?
Yo he hecho la prueba con alumnos de 3º de ESO y el resultado ha sido negativo. No obstante, una vez resuelto, todos lo han entendido, y la gran mayoría ha dicho que era sencillo, pero…
Y así ha sido, pues después de dar la solución del que se propuso a los alumnos de Primaria han sido capaces de resolver el propuesto en el primer ciclo de ESO.

Los problemas planteados fueron:

Problema propuesto a los alumnos de 5º y 6º de Primaria
El hexágono regular inscrito en la estrella tiene un área de 24 cm2. El área, en cm2, de la estrella es:
                         A) 27             B) 30               C) 32               D) 36                E) 40

Problema propuesto a los alumnos de 1º y 2º de ESO
En la figura vemos una estrella de seis puntas con un área de 720 mm2. ¿Cuál es el área, en mm2, de la punta de flecha sombreada?
                             A) 30              B) 32             C) 36                 D) 40              E) 48

Solución.

Geometría (30). Cociente de áreas

Foto: Eva Alonso Botija (París)

LI Olimpiada Matemática Española (Fase Local)

El problema que se plantea a continuación no es sencillo. Tampoco es difícil, pero hay que realizar un par de procesos que no son inmediatos.
Inicialmente hay que tener una “idea”; a continuación hay que descubrir triángulos semejantes; y, por último, hacer algunos cálculos…
Para resolverlo necesitas saber:
1) Los teoremas de Pitágoras y de Tales, y aplicarlos a la situación.
2) Manejar relaciones de proporcionalidad.
3) Operar con radicales.

Problema
Sobre los lados de un triángulo rectángulo, de catetos uno doble que el otro, dibujamos cuadrados hacia fuera, como se muestra en la figura. El polígono obtenido lo inscribimos en un rectángulo como puede observarse en la citada figura. ¿Cuál es el cociente entre el área del polígono sombreado y el área del rectángulo en el que está inscrito?

Solución.

Geometría (29). Más de Tales y Pitágoras

Foto: Catalina Martínez García (Roma)

LI Olimpiada Matemática española (Comunidad de Madrid, Fase cero).

Los dos problemas que se proponen a continuación son relativamente sencillos. Pienso que pueden hacerse con un nivel de 2º de ESO, pues basta con conocer:
1)   Algo de triángulos isósceles.
2)   El teorema de Pitágoras y el de Tales.
3)   Fórmulas de áreas de triángulos y rectángulos.

Problema 1
¿Cuál es la longitud del lado AB del triángulo ABC sabiendo que AC = 3, AD = 3, BD = 8 y CD = 1?

Problema 2
En un rectángulo ABCD, con AB = 6 y AD = 30, sea G el punto medio de AD. Prolongamos desde B el lado AB hasta el punto E, con BE = 2, y sea F el punto de intereseccción de ED con BC. ¿Cuál es el área del cuadrilátero BFDG?
Observación: Debes construir la figura apropiada al texto. Después podrás resolverlo.

Soluciones.

Geometría (28). Semejanzas

Foto: Adina Marín (Madrid, catedral)

XVIII Concurso de Primavera (Madrid, 2014)

Te planteo dos problemas relativamente sencillos. Su solución se obtiene teniendo en cuenta los criterios de semejanza de triángulos.
Te los recuerdo.
·       Primer criterio: Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos iguales.
·       Segundo criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman.
·       Tercer criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen los lados correspondientes proporcionales.
(Cuando la razón de semejanza es 1, los triángulos son iguales).

Naturalmente, en los problemas que siguen, los triángulos semejantes (o iguales) no se ven a simple vista. Tendrás que buscarlos; ahí está la dificultad.

Problema 1
Sea ABCD un trapecio isósceles y X el punto medio del lado AD. Si AX = 1 y el triángulo XBC es rectángulo en X, ¿cuánto mide el perímetro del trapecio?

Problema 2
En un cuadrado ABCD, E y F son puntos medios de los lados AB y AD, respectivamente. Se toma un punto G de CF de tal modo que 3CG = 2GF. Si el lado del cuadrado es 2, ¿cuánto vale el área del triángulo BEG?

Soluciones.

Geometría (27). Tales/Pitágoras

Foto: Adina Marín (Sevilla)

XVIII Concurso de Primavera (Madrid, 2014)

Te planteo un problema relativamente sencillo. Se requiere conocer los teoremas de Tales y de Pitágoras, aunque basta con uno de ellos; además debes saber algo de la tangente a una circunferencia.
Pienso que puede hacerse con un nivel de 2º de ESO.

Problema
Los lados  de un triángulo rectángulo miden  5, 12 y 13. Un semicírculo con centro en el cateto de longitud 12, es tangente al otro cateto y a la hipotenusa.  ¿Cuánto mide su radio?

Solución.

Geometría (26). La flecha y la lanza

Foto: Carmen García Matas (Río Ebro en Reinosa, Cantabria)

De la 13ª Olimpiada Matemática de Euskadi (2015) y XVIII Concurso de Primavera Madrid (2014)

Los dos problemas que siguen son fáciles: pueden hacerse con un nivel de 2º de ESO. Esto animará a los nuevos lectores de este Blog.
En el primer problema basta con descubrir triángulos isósceles y aplicar sus propiedades. El segundo es casi inmediato.

Problema 1
Con  un  hexágono y un pentágono regulares puestos convenientemente realizamos el diseño de una punta de lanza, tal como indica el dibujo. ¿Cuál es el ángulo de la punta de la lanza?

Problema 2
La punta de flecha de la figura tiene dos ángulos rectos. Calcula su área.

Soluciones.

Geometría (25). Longitud de una mediana

Foto: Carmen García Matas. (Orbaneja, Burgos)

De la XLIII Olimpiada matemática Española (2006)

El problema que sigue requiere conocimientos de 4º de ESO. En concreto, para dar la solución yo he necesitado aplicar el teorema del coseno. (Si no lo recuerdas puedes verlo pinchando aquí). Además,  como casi siempre, lo más difícil es ordenar las ideas, hacer un dibujo correcto y decidir el camino a seguir.
Nota. El dibujo que acompaña al enunciado no venía en el original. Hacerlo “bien” no resulta inmediato: intenta dibujarlo por tu cuenta, prescindiendo del que se da aquí. (Te puede venir bien usar un compás).

Problema
En el triángulo ABC, el lado AB mide 1 y el AC, 2. Si el otro lado, BC, y la mediana desde A son de igual longitud, ¿cuál es esa longitud?

Solución.

Geometría (24). Área de un triángulo

Foto: Catalina Martínez García (Nuremberg, Alemania)

De la XLIII Olimpiada Matemática Española (2006)

Aunque el problema que sigue no requiere conocimientos especiales, no me parece sencillo: debería recomendarse para estudiantes de 3º de ESO en adelante.
Para resolverlo hay que saber “ver” dos triángulos semejantes… y alguna cosa más. Por ello, lo normal será que no salga a la primera; pero no te desanimes, seguro que te sale a la segunda o a la tercera. Y, si no, siempre quedará la solución del final.

A modo de pistas te diré que debes saber:
1) Los criterios de semejanza de triángulos.
2) Trabajar con triángulo isósceles.
3) Pitágoras; la fórmula del área de un triángulo; y las demás cuestiones básicas de geometría.

Problema
En el triángulo ABC, el lado AC y la mediatriz del lado BC se cortan en el punto D, siendo BD la bisectriz del ángulo B. Si AD = 9 y DC = 7, ¿cuánto mide el área del triángulo ABD?

Solución.