Foto: Carmen Martínez García (Nuestra Señora de Salas, Huesca)
El problema que sigue está relacionado con los ángulos inscritos en una circunferencia; además, en su resolución interviene el teorema de Tales.
Problema
Demostrar que para cualquier triángulo de lados a, b y c, inscrito en una circunferencia, se cumple que a · b = h · d, siendo h la altura del triángulo sobre el lado c y d el diámetro de la circunferencia.
Foto: Antonio Martínez García (Lago di Como, Italia).
El problema que sigue es relativamente sencillo. Puede proponerse a estudiantes de Secundaria.
Problema:
Halla la medida de los lados del cuadrilátero ABCD, circunscrito a una circunferencia de radio 2 cm, sabiendo que su área es 18 cm2.
El problema que sigue requiere cierto ingenio. Puede proponerse a estudiante de Bachillerato.
Problema:
Dibujar un triángulo del que se conocen los puntos de intersección de las prolongaciones de la bisectriz (B), la mediana (M) y la altura (A) que parten de un mismo vértice, con la circunferencia circunscrita al triángulo.
Foto: José María Martínez García (Zorita de los Canes, Guadalajara).
El problema que sigue requiere cierto ingenio. Puede proponerse a estudiante de Bachillerato.
Problema:
Se consideran una recta AB y dos puntos C y D no pertenecientes a esa recta. Hallar, con regla y compás, el punto P de la recta de modo que el ángulo CPA sea doble que el ángulo DPB.
Foto: Carmen García Matas (Ruinas del convento de La Salceda, Tendilla, Guadalajara)
El problema que sigue puede resolverse aplicando relaciones de semejanza. Es apropiado para estudiantes de Secundaria.
Problema:
Cortar un trapecio con una recta paralela a la base, de modo que el segmento de esta recta dentro del trapecio se divida por las diagonales en tres partes iguales.
Foto: Antonio Martínez García (Por tierras de Cuenca, España)
El problema que sigue que puede plantearse a los alumnos de 3º de ESO y más, indicándoles alguna pista para su resolución. (En la solución se da esa pista).
Problema
Inscribir en el triángulo ABC un cuadrado como el de la figura: dos vértices están en el lado AB; los otros dos, uno en BC, el otro en CA.
Foto: Cristina Martínez García.
Problema propuesto en la LX Olimpiada Matemática Española:
https://www.rsme.es/wp-content/uploads/2025/01/Problemas-2023_2024.pdf
No es sencillo. Puede proponerse a los alumnos de Bachillerato.
Problema
Sea ABC un triángulo acutángulo y D el punto de AB que es pie de la altura desde C. Sea P un punto arbitrario en el lado BC. Las rectas AP y CD se cortan en el punto E, y las rectas BE y AC se cortan en el punto Q. Probar que CD es la bisectriz del ángulo PDQ.
