Geometría (311). Trapecio 2

Foto: Jorge Santos (Capela dos Santos Reis, Pontevedra)

El problema que sigue se propuso en el XXXIV Concurso “Puig Adam”. (Nivel II, 4º de ESO)
https://www.ucm.es/data/cont/media/www/pag-81199/2016_problemas.pdf
Su resolución es asequible para los alumnos de 3º y 4º de ESO.

Problema
En el trapecio ABCD de la figura siguiente se verifica que el cociente entre las longitudes de las bases es BC/AD = 5/7. Los puntos E y F están en los lados CD y DA respectivamente y verifican que CE/ED = 2/3, AF/FD = 4/3. Si el área del cuadrilátero ABFE es 123, calcula el área del trapecio.

Solución.

Geometría (310). Trapecio

Foto: Antonio Martínez García (Chefchaouen, Marruecos)

El problema que sigue se propuso en LII Olimpiada Matemática Española (Comunidad de Madrid, Fase cero): https://www.ucm.es/data/cont/media/www/pag-81216/LII_OME_Madrid_1_Sesion.pdf
Es un problema asequible para los alumnos más jóvenes.

Problema
En el trapecio rectángulo PQRS trazamos las diagonales, siendo 5 y 10 las áreas de dos de los triángulos que determinan, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área del trapecio?

Solución.

Geometría (309). Ángulos

Foto: Catalina Martínez García (Pinacoteca de Brera, Milán)

El problema que sigue puede servir para trabajar con ángulos inscritos en una circunferencia y con triángulos.  

Problema
Partiendo de un octógono regular se han trazado los ángulos x e y, ¿cuánto miden?

Solución.

Geometría (308). Ángulos

Foto: Siân Williams (Catedral de Burgos, claustro).

El problema que sigue puede servir para trabajar con ángulos inscritos en una circunferencia.

Problema
Halla el valor de los ángulos x e y.

Solución.

Geometría (307). Área

Foto: Cristina Martínez García (Cantábrico en Galicia)

El problema que sigue puede servir para trabajar con semejanza de triángulos. Es adecuado para los alumnos más jóvenes de Secundaria.

Problema
a) Halla el área de la “corona” de ocho círculos tangentes interiores a una circunferencia de radio 1. (Da la solución en función de sin 22,5º).
b) ¿Cómo dibujarías las circunferencias interiores?

Solución.

Geometría (306). Áreas

Foto: Antonio Martínez García (Río Lozoya en Buitrago)

Este problema es una variante del Post 305 de este blog. Puede proponerse a los alumnos del 2º ciclo de Secundaria (14-15 años).

Problema
La recta que pasa por los puntos (0, 5) y (10, 0) es tangente a los círculos, uno con centro en (0, 0) y el otro en el punto (5, 5). ¿Qué área es mayor, la amarilla o la azul? ¿Serán iguales?

Solución.

Geometría (305). Área

Foto: Carmen García Matas (Cívica, Guadalajara).

El problema que sigue puede servir para trabajar con semejanza de triángulos. Es adecuado para los alumnos más jóvenes de Secundaria. (Se recomienda hacerlo sin utilizar procedimientos de Geometría analítica). 

Problema
Una circunferencia con centro en el punto C(4, 3) es tangente a la recta que pasa por los puntos A(0, 3) y B(6, 0). ¿Cuál es el área del círculo?

Solución.

Geometría (304). Áreas

Foto: Carmen Martínez García. (Estación de Canfranc, Huesca)

El problema que sigue puede proponerse a los alumnos del 2º ciclo de Secundaria (14-15 años).

Problema
La circunferencia grande tiene radio 3. Las circunferencias pequeñas son tangentes entre ellas y a la grande. ¿Cuál es el área de cada una de las regiones coloreadas?

Solución.