Geometría (303). Construir...

Foto: José María Martínez García (Universidad de Glasgow)

El problema que sigue se ha obtenido de los propuestos en la IX Olimpiada Matemática Española: http://www.olimpiadamatematica.es/platea.pntic.mec.es/_csanchez/olimp_1963-2004/OME2004.pdf
Como muchos de los problemas de construcción con regla y compás la solución no es sencilla, … hasta que se ve.
Puede plantearse a los alumnos de Bachillerato con interés por la Geometría.   

Problema
Dadas dos rectas paralelas y un punto P entre ellas, determinar un triángulo equilátero que tenga por vértice el punto P, y los otros dos, uno sobre cada una de las rectas.
(Plantea también la solución en el caso de que el punto P esté encima de r).

Solución.

Geometría (302). Trapecio

Foto: Catalina Martínez García (Valle de Ordesa)

El problema que sigue es relativamente sencillo. Puede proponerse a los alumnos más jóvenes de Secundaria.

Problema
Halla el área del trapecio sombreado. (La circunferencia dada es la inscrita al triángulo).

Solución.

Geometría (301). Área

Foto: José L. Quintero (Monte Saint-Michel)

El problema que sigue es relativamente sencillo. Solo exige conocer el teorema de Pitágoras y saber operar con radicales. Puede proponerse a los alumnos de Secundaria de 3º de ESO (14-15 años).

Problema
Un triángulo equilátero de lado 1 se gira respecto de su centro un ángulo de 90º. Halla el área de la parte común del triángulo dado y del obtenido en ese giro.

Solución.

Geometría (300). Área

Foto: Carmen García Matas

El problema que sigue es una adaptación (algo más sencilla) del Problema 3 propuesto en la LV Olimpiada Matemática Española.

Para su resolución hay que establecer relaciones de semejanza de triángulos y utilizar la noción de punto simétrico respecto de una recta.
Puede proponerse a los alumnos de Secundaria de 2º de ESO (14-15 años).

Problema
Sea ABC un triángulo equilátero de lado 6. Desde el vértice A se lanza un rayo de luz que rebota en el punto D de CB e incide en el punto medio E del lado AB. Se pide:
1. El área del triángulo ADE.
2. Hallar, con regla y compás, el punto D en el que rebota el rayo de luz.

Solución.

Geometría (299). Recta de Euler

Foto: Cristina Martínez García (Pirineos de Huesca)

El problema que sigue es uno de los resultados (teoremas) clásicos de Geometría. Su demostración está en muchos sitios, basta con buscar en Internet: “recta de Euler de un triángulo”. Al proponerlo aquí busco que los alumnos y profesores se planteen cómo demostrarlo por su cuenta, pues creo que es un reto interesante.

Daré una pista: Considera el baricentro G y el circuncentro O; la recta que pasa por G y O corta a una de las alturas en un punto H´. Demuestra que ese punto es el ortocentro H.

Problema
Demostrar que, en todo triángulo, el baricentro G, el circuncentro O y el ortocentro H están alineados. Además, HG = 2 · GO.

Solución.

Geometría (298). Área

Foto: Alejandro Gresa Lliso (En el Camino de Santiago)

El problema que sigue se propuso en el XX CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS
(2ª FASE, NIVEL II, 1º y 2º ESO): http://jlmat.es/_datos/conprim/n2/2016_2_nivel2.pdf

Es un problema bastante sencillo. Puede proponerse a los alumnos más jóvenes de Secundaria.

Problema
Ayudándonos de algunas perpendiculares hemos dibujado un triángulo en el interior de un hexágono regular. Si el área del hexágono es 120 cm2, ¿cuál es el área del triángulo central?

Solución.

Geometría (297). Longitudes

Foto: Antonio Martínez García (Buitrago de Lozoya, Madrid)

El problema que sigue se propuso en la LIV Olimpiada Matemática Española (Fase Local, León): https://blogs.unileon.es/olimpiadamatematicas/files/2011/10/ome2018-local.pdf

Para su resolución hay que conocer los valores angulares en polígonos regulares. Puede proponerse a los alumnos de Secundaria de 3º de ESO (15-16 años).

Problema
Sea ABCDEFG un heptágono regular. AC y BF se cortan en H. AF y CG se cortan en I. Probar que DE = HI.

Solución.

Geometría (296). Áreas

Foto: Carmen Martínez García (Ibón de Bernatuara, Pirineos)

El problema que sigue se propuso en el XXV CONCUSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS (1ª y 2ª FASE, NIVEL IV, Bachillerato): https://www.concursoprimavera.es/resources/downloads/tD821k0TaAcInWcI/problemas-2022-fase1-nivel4.pdf

Es un problema bastante sencillo. Puede proponerse a cualquier alumno que conozca el teorema de Pitágoras; aunque es más inmediato si conoce el concepto de seno de un ángulo.

Nota: Se ha modificado ligeramente el enunciado para unificar la longitud del lado del octógono.

Problema
El octógono regular de lado 1 se ha dividido:
a) En dos cuadrados y cuatro rombos. ¿Cuál es el área de cada rombo?
b) En cuatro rombos y una estrella. ¿Cuál es el área de la estrella?

Solución.