Geometría (249). Triangulación (2)

Foto: Carmen Martínez García (Olite, Navarra)

PARTICIÓN DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO EN 4 TRIÁNGULOS ISÓSCELES

A continuación se propone una segunda entrada sobre el tema.
Recuerdo que se trata de dividir un triángulo ABC, rectángulo en C, en 4 triángulos isósceles. Para ello hay que buscar tres puntos D, E y F que sean vértices de los nuevos triángulos; la posición de estos puntos generará distintas soluciones. En este caso se establecen las siguientes premisas:
1) Los puntos D y F están sobre la hipotenusa y el punto E sobre el cateto AC.
2) En el punto C (ángulo recto del triángulo dado ABC) se sitúan dos vértices.
Así se forman los triángulos: BCD, DCE, DEF y AFE.
Como se dijo en la entrada anterior (Geometría (248)), los vértices singulares de los nuevos triángulos se denotan por (1), (2), (3) y (4); los demás ángulos se indican con las letras griegas alfa, beta, gamma y delta, respectivamente.

Problema
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. Si los cuatro triángulos (BCD, DCE, DEF y AFE) dibujados en él son isósceles, estando los vértices singulares (1) y (2) en C y D, respectivamente, ¿cuánto debe valer x para que tal partición sea posible?
Una vez encontrado el valor de x dibuja (con regla y compás) cada uno de esos triángulos.

Nota: Pueden plantearse 9 casos distintos, que se obtienen al ir cambiando la posición de los vértices singulares (3) y (4). Hay solución en 3 casos.

Solución.

Geometría (248). Triangulación (1)

Foto: Catalina Martínez García (Lanzarote)

El problema que se propone a continuación es el primero de una serie que bajo el título general de

PARTICIÓN DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO EN 4 TRIÁNGULOS ISÓSCELES

se propondrán en las próximas semanas. No tengo determinado el número de entradas que se haré sobre el tema, pero el trabajo general en el que se estudian `todas´ las posibles soluciones se publicará en su momento.

Una partición de un conjunto es su división en subconjuntos de modo que: 1) La unión de todos los subconjuntos sea el conjunto inicial; 2) Todos los subconjuntos son disjuntos.
Aquí se aborda la partición de un triángulo ABC, rectángulo en C, en 4 triángulos isósceles. Para ello hay que encontrar otros tres puntos D, E y F sobre los lados del triángulo inicial que sean vértices de los nuevos triángulos.
Cada partición dependerá de la amplitud del ángulo A = x, y de los puntos que se elijan como “vértices singulares” en cada nuevo triángulo. (Con la expresión “vértice singular” designo el ángulo desigual de cada triángulo isósceles, el vértice del que parten sus dos lados iguales. Esos ángulos los denotaré con números: (1), (2), (3) y (4). Los demás ángulos se indican con letras griegas: alfa, beta, gamma y delta, respectivamente)ç

Problema (Caso 1)
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. Si los cuatro triángulos dibujados en él son isósceles, ¿cuánto debe valer x para que tal partición sea posible?
Una vez encontrado el valor de x dibuja (con regla y compás) cada uno de esos triángulos.

Solución.

Geometría (247). Medianas perpendiculares

Foto: Cristina Martínez García (Las Cárcavas de Patones, Madrid)

El problema que se propone en este post, aunque enunciado en términos genéricos, no es difícil. Para resolverlo hay que conocer qué son las medianas de un triángulo y qué propiedad cumple el baricentro (punto de corte de las medianas); también, como siempre que hay perpendicularidad, puede recurrirse a Pitágoras.
Puede proponerse a partir de 3º de ESO.

Observación: En el post Geometría (185) se planteó otro problema con las medianas perpendiculares. Puede ser interesante recordarlo.

Problema
Halla el tercer lado de un triángulo del que se conocen dos de sus lados a y b, sabiendo que las medianas correspondientes a estos lados se cruzan formando un ángulo recto.
Para el caso a = 4 y b = 3, ¿cuánto valdría c?

Solución.

Geometría (246). Bisectriz

Foto: José María Martínez García; Traeth Llanddwyn.

El problema que se plantea a continuación no es difícil. Solo hay que descubrir dos triángulos semejantes y aplicar la relación de proporcionalidad entre sus lados.
Como dije en el post 245, a los estudiantes más jóvenes les resultará algo complejo que el enunciado se plantee en términos genéricos, pero eso puede ayudarles a mejorar su comprensión matemática.
Puede plantearse a partir de 2º de ESO

Problema
En el triángulo rectángulo ABC, los catetos b y c son conocidos. Si la bisectriz del ángulo recto corta al lado BC en el punto P, ¿cuánto mide, en función de b y c, el segmento AP?
Para el caso b = 3 y c = 5, ¿cuánto valdría AP?

Solución.

Geometría (245). Lado

Foto: Carmen García Matas. (Palacio del Infantado, Guadalajara, España)

El problema que se plantea a continuación es un ejercicio sencillo. Solo hay que descubrir dos triángulos semejantes y aplicar la relación de proporcionalidad entre sus lados.
A los estudiantes más jóvenes les resultará algo complejo que el enunciado se plantee en términos genéricos: ¨se conocen los lados b y c”, pero no se da su medida. Tampoco se da la medida de ningún ángulo; aunque es evidente que la clave está en que un ángulo es doble que otro. Pienso que un enunciado así puede contribuir a su maduración matemática.   

Problema
En el triángulo ABC, el ángulo A es dos veces mayor que el B. Si se conocen los lados b y c, ¿cuánto vale el lado a?
Para el caso b = 4 y c = 5, ¿cuánto valdría a?

Solución.

Geometría (244). Fórmula de Herón

Foto: Antonio Martínez García; Patones, Madrid

La fórmula de Herón es “un clásico” de la Geometría. Permite hallar el área de un triángulo conociendo la longitud de sus lados. (Herón de Alejandría: siglo I d. C.)

La demostración de esta fórmula no es difícil. En Internet se puede encontrar algunas. La que se propone aquí es una más.
Se utilizan las siguientes cuestiones básicas:
1. El teorema de Pitágoras; 2. La fórmula el área de un triángulo;
3. Las conocidas como igualdades notables, en particular la igualdad “(suma) · (diferencia) = diferencia de cuadrados”. .

Problema
Demuestra la fórmula de Herón, que dice:
Si los lados de un triángulo miden a, b y c, su área S viene dada por la expresión indicada en la figura, donde p es el semiperímetro del triángulo.

Solución.

Geometría (243). Ángulo y mediana

Foto: Cristina Martínez García (Colegio de Daganzo, en Madrid)

Propuesto en la LIV Olimpiada Matemática Española (Primera Fase); 19 de enero de 2018.

Su resolución requiere algo de ingenio; aunque una vez visto resulta sencillo. Para ello, hay que saber buscar otros triángulos; y no digo más.
Puede proponerse a cualquier persona aficionada a la Geometría; quizás, a partir de 3º de ESO.

Problema
Sea AD la mediana del triángulo ABC tal que ángulo(ADB) = 45º y ángulo(ACB) = 30º. Determinar el valor del ángulo(BAD).

Solución.

Geometría (242). Corona de Polígonos

Foto: Catalina Martínez García (Catedral de San Vito, Praga)

Propuesto en la XXIX OLIMPIADA MATEMÁTICA FASE NACIONAL 2018

Este problema requiere cierto nivel de abstracción, de generalización, pues intervienen un número (m) indeterminado de polígonos regulares, cada uno de ellos con un número (n) indeterminado de lados.
Para resolverlo hay que entender claramente el enunciado (posiblemente necesites leerlo dos o tres  veces, observando la figura dada); después hay que animarse y aceptar el reto. Si estás decidido te doy tres pistas que pueden facilitarte el trabajo: 1) Hay que saber (su deducción es sencilla) cuánto mide cada uno de los ángulos internos de un polígono regular de n lados; 2) Relaciona el centro de la “estrella” interior con los lados de un polígono, forma triángulos y halla el valor de sus ángulos; 3) Los números m y n deben ser enteros positivos.

Podría proponerse a los alumnos/as de Bachillerato aficionados a la Geometría. (Para los profesores y profesoras puede ser un reto entretenido).

Problema
Un anillo simétrico está compuesto por m polígonos regulares idénticos, cada uno de n lados, de acuerdo con las siguientes reglas:
i. Cada polígono en el anillo toca exactamente a otros dos.
ii. Dos polígonos adyacentes tienen un lado común.
iii. El perímetro de la región interna (la parte encerrada por el anillo), consiste en exactamente dos lados de cada polígono del anillo.
El siguiente ejemplo muestra un anillo con m = 6 y n = 9.
¿Para qué valores de m y n son posibles anillos de este tipo?

Solución.