Geometría (241). Semicírculos

Foto: Aitor Merinero Martín (Mérida, España)

Propuesto en la XXIX OLIMPIADA MATEMÁTICA FASE NACIONAL 2018

Pienso que se trata de un problema relativamente sencillo. Debe tenerse en cuenta el número de semicírculos y la propiedad de la tangente a una circunferencia.
Dando estas pistas podría proponerse a cualquier persona aficionada a la Geometría. Los estudiantes de segundo ciclo de Secundaria, desde 3º de ESO, pueden ser buenos candidatos.

Problema
Un día, Juan y Miguel se pusieron a hacer en el suelo un patrón como el de la figura siguiente: En la figura hay 6 semicírculos iguales y tangentes unos con otros, inscritos dentro de una circunferencia grande. Si lo hicieron de forma que el radio de los semicírculos pequeños sea de 1 metro, ¿cuál será el radio de la circunferencia grande?

Solución.

Geometría (240). Área (III)

Fofo: Siân Williams (Conwy, Gales)

Enunciado extraído de la Olimpiada Matemática Asturiana del año 2016. (Prueba final individual, categoría B).

Es un problema sencillo. Para resolverlo hay que descubrir triángulos semejantes, determinar su razón de semejanza y saber calcular sus áreas.
Resulta adecuado para aficionados a la Geometría que estén familiarizados con el teorema de Tales.

Problema
Sea ABC un triángulo de área 7 cm2. Se construye el triángulo XYZ de la siguiente manera: se prolonga el lado AB de modo que AX = 2AB; se prolonga el lado BC de modo que BY = 3BC;  se prolonga el lado CA de modo que CZ = 4CA. Hallar el área del triángulo XYZ.

Solución.

Geometría (239). Ángulo (II)

Foto: José María Martínez García; Manchester

Enunciado extraído de la Olimpiada Matemática Asturiana del año 2016. (Prueba final individual, categoría A).

Es un problema sencillo que combina propiedades de la bisectriz con distintos tipos de triángulos. Puede ser interesante para los alumnos de Secundaria, desde 1º de ESO. 

Problema
Sea el triángulo ABC con A = 108º. La bisectriz de C corta al lado AB en P. La recta perpendicular al segmento CP trazada por C corta a la recta AB en el punto Q de modo que CP = CQ. Calcula la medida de los ángulos B y C.

Solución.

Geometría (238). Ángulo

Foto: Carmen García Matas (Zorita de los Canes, Guadalajara)

Enunciado extraído de la Olimpiada Matemática Asturiana del año 2017. (Prueba final individual, categoría A).

Es un problema sencillo. Puede proponerse para recordar las relaciones angulares en distintos polígonos.
Puede ser interesante para los alumnos/as de Secundaria, desde 1º de ESO.

Problema
Se tienen cuatro vértices consecutivos de un polígono regular de 10 lados, A, B, C y D. Sea P el punto interior al polígono tal que el triángulo BPC es equilátero. Calcular la medida del ángulo BPD.

Solución.

Geometría (237). Cuadrilátero (II)

Foto: Matilde Vidal Gómez de Travecedo (En el monasterio de Santa María de Sobrado de los Monjes, La Coruña)

Enunciado extraído de la Olimpiada Matemática Asturiana del año 2017. (Prueba final individual, categoría B).

No es un problema difícil. Su solución puede encontrarse teniendo en cuenta que el peso de cada trozo es proporcional a la superficie del triángulo asociado (en el supuesto de la tarta tenga el mismo espesor).
Puede proponerse a cualquier persona (estudiante o no) aficionada a la Geometría. Puede ser interesante para los alumnos de 2º de ESO.

Problema
Un pastel tiene forma de cuadrilátero. Lo partimos por sus diagonales en cuatro partes, como se indica en la figura. Yo me comí una parte, y después pesé las otras tres: un pedazo de 120 g, uno de 200 g y otro de 300 g. ¿Cuánto pesaba la parte que yo me comí?

Solución.

Geometría (236). Cuadrilátero

Foto: Carmen García Matas

Problema extraído del libro “Problemas de Matemáticas Elementales”, V. B. Lidski y otros, Editorial Mir 1978.

No es un problema inmediato, aunque una vez resuelto se vea sencillo. Para resolverlo hay que utilizar la propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia, asociada a la noción de arco capaz: el lugar geométrico de los puntos desde los que se ve un segmento con el mismo ángulo.
Puede proponerse a cualquier persona (estudiante o no) aficionada a la Geometría.

Problema
Demostrar que si en un cuadrilátero arbitrario ABCD se trazan las bisectrices internas, los cuatro puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos A y C son con las bisectrices de los ángulos B y D se encuentran sobre una circunferencia.
(Como ayuda de carácter interpretativo, en el dibujo adjunto se trazan dos de esas bisectrices).

Solución.

Geometría (235). Área máxima (II)

Foto: Antonio Martínez García, Nuremberg.

Enunciado de la Actividad n. 173 del Capítulo 9 del libro Matemáticas I de SM, 2015.

El problema que se propone no es fácil; al menos a primera vista. Podría proponerse a los chicos y chicas de bachillerato que muestren interés por los retos matemáticos.
En el post anterior “Geometría (234)” se dio una solución geométrica. Aquí se pide una solución analítica, aplicando el Cálculo Diferencial.

Problema
A un rectángulo de lados a y b se le circunscribe otro rectángulo, tal y como se indica en la figura. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo exterior para que tenga área máxima?

Solución.

Geometría (234). Área máxima

Foto: Cristina Martínez García, (Alarilla, Guadalajara)

(Enunciado de la Actividad n. 173 del Capítulo 9 del libro Matemáticas I de SM, 2015).
El problema que se propone no es fácil; al menos a primera vista. Podría proponerse a los chicos y chicas de bachillerato que muestren interés por los retos matemáticos; quizás emplazándolos para “la semana que viene” a encontrar su solución.
No obstante, como es frecuente en Geometría, es posible encontrar una solución rápida y sencilla. Esa es la que se dará en este post.

En el próximo post (para “la semana que viene”) se proponda el mismo problema instando a dar una solución analítica, aplicando el Cálculo Diferencial.

Problema
Un rectángulo de dimensiones a y b se inscribe en otro como indica la figura. Halla las dimensiones de este último para que su área sea máxima.

Solución.