Geometría (211). Triángulos equiláteros

Foto: Pilar Santos Martínez (Sierra de Madrid)

Este problema se ha obtenido de los materiales facilitados por la “Societat d'Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana Al-Khwarizmi”. En concreto, de la Fase Castelló de 2011: https://www.semcv.org/fasecastello/problemes-olimpiades

Es un problema muy sencillo que puede proponerse a los alumnos de cualquier nivel de secundaria.
Para resolverlo solo se necesita conocer algunas propiedades de los triángulos: lados, ángulos. También se precisa conocer los criterios de semejanza de triángulos.

Problema
Dados los triángulos ABC y CDE equiláteros de lados 1 y 1/2, respectivamente.
Demostrar que:
a) El triángulo DEC es isósceles.                b) El triángulo ACD es rectángulo.

Solución.

Geometría (210). Triángulo isósceles (IV)

Foto: Carmen García Matas (embalse de El Atazar, Madrid)

Cuarto problema de esta serie de triángulos isósceles. El método de resolución es similar al empleado en los posts precedentes: “Geometría (207), (208) y (209)”.
No debe recurrirse a la trigonometría; aunque podría utilizarse para comprobar la veracidad de los resultados.
Hay que construir triángulos semejantes, aplicar Tales y Pitágoras; y operar las expresiones  algebraicas con fluidez.

Puede proponerse a alumnos de 4º de ESO en adelante.

Problema 4
Sea un triángulo isósceles de lados a, b y b, y ángulo A = 40. Demuestra que se cumple la relación que se indica.

Solución.

Geometría (209). Triángulo isósceles (III)

Foto: Cristina Martínez García. Embalse de El Villar (Madrid)

Tercer problema de esta serie de triángulos isósceles. El método de resolución es similar al empleado en el post anterior “Geometría (207)”.
No debe recurrirse a la trigonometría; aunque podría utilizarse para comprobar la veracidad de los resultados.
Hay que construir triángulos semejantes, aplicar Tales y Pitágoras; y operar las expresiones  algebraicas con fluidez.

Puede proponerse a alumnos de 4º de ESO en adelante.

Problema 3
Sea un triángulo isósceles de lados a, b y b, y ángulo A = 80º. Demuestra que se cumple la relación indicada.

Solución.

Geometría (208). Triángulo isósceles (II)

Foto: Carmen Martínez García (El Pris, Tenerife)
En tiempos de coronaviruis no estás solo.

Segundo problema de esta serie de triángulos isósceles. El método de resolución es similar al empleado en el post anterior “Geometría (207)”.
No debe recurrirse a la trigonometría; aunque podría utilizarse para comprobar la veracidad de los resultados.

Puede proponerse a alumnos de 4º de ESO en adelante.

Problema 2
Sea un triángulo isósceles de lados a, b y b, y ángulo A = 20º. Demuestra que se cumple la relación que se indica a continuación.

Solución.

Geometría (207). Triángulo isósceles (I)

Foto: Catalina Martínez García. Madrid en mayo.
(En tiempos de coronavirus no estás solo)

El problema que sigue es el primero de una serie con enunciados similares. En todos los casos se partirá de un triángulo isósceles, cuyo ángulo singular (el situado sobre su base) tiene distinta amplitud. El método de resolución será parecido: convendrá dibujar, a partir del triángulo dado, otros triángulos que permitan aplicar Pitágoras. Pero no vale cualquier triángulo rectángulo: hay que buscar uno que resulte apropiado.
También hay que manejar con soltura las operaciones algebraicas: cuadrado de un binomio; trasposición y agrupación de términos; simplificación…
No debe recurrirse a la trigonometría; aunque podría utilizarse para comprobar la veracidad de los resultados.
En ningún caso es un problema sencillo para los alumnos de secundaria. Como son problemas parecidos, una vez resuelto el primero de la serie los demás deberán resultar casi inmediatos.

Puede proponerse a alumnos de 4º de ESO en adelante.

Problema 1
Sea un triángulo isósceles de lados a, b y b, y ángulo A = 100º. Demuestra que se cumple la relación que se indica a continuación.

Solución.

Geometría (206). Áreas en hexágono

Foto: Juan Luís Cordero; por tierras de Extremadura (Malpartida, Cáceres)
En tiempos de coronavirus no estás solo. Además, la primavera siempre llega.

Vuelvo a plantear un problema fácil, recomendable para los alumnos más jóvenes. Puede considerarse una variante del post Geometría (202) propuesto hace 4 semanas. Como allí, se sugerirá una partición del hexágono en triángulos.
En el problema se hacen dos preguntas. La primera se puede resolver dibujando; para la segunda hay que plantear y resolver una ecuación de segundo grado.

Problema
a) Si el área del hexágono regular mide 100 unidades cuadradas, cuánto valdrá el área de cad una de las regiones sombreadas (suma por colores).
b) ¿Cuánto debe valer el lado del hexágono para que su área sea 100?

Solución.

Geometría (205). Con regla y compás

Foto: Cristina Martínez García; en Daganzo, mayo 2020 (En tiempos de coronavirus no estás solo)

Problema obtenido del libro “Problemas de Matemáticas Elementales”, V. B. Lidski y otros, Editorial Mir 1978.

Se trata de un problema clásico, de los de regla y compás. Pienso que no es un problema fácil, … hasta que se resuelve, que entonces resulta evidente; esto significa que para resolverlo hay que dar con una buena idea, y eso no es inmediato. La dificultad es sobradamente compensada con la satisfacción que produce encontrar la solución.

Esa idea tiene que ver con la propiedad de las tangentes a una circunferencia, que ahora formulo como sigue: “La bisectriz del ángulo que determinan las tangentes comunes a una circunferencia, desde un punto P, es la recta PO, siendo O el centro de la circunferencia”. (Esto es así porque las tangentes comunes a una circunferencia cumplen que la distancia a los puntos de tangencia, desde el punto del que se trazan, es la misma).

Podría proponerse a alumnos de bachillerato.

Problema
Se tiene una recta CD y dos puntos A y B no pertenecientes a ella. Hallar en la recta un punto M de modo que el ángulo AMC sea el doble que el ángulo BMD.
Observación: Los puntos A y B pueden estar en el mismo lado de la recta, como en el dibujo, o cada uno a un lado de ella. Si están en lados distintos puede resultar más fácil; comienza por ese caso).

Solución.

Geometría (204). Trozos

Foto: Sìân Williams, Minneapolis. (En tiempos de coronavirus no estás solo)

El problema que sigue es sencillo. Puede proponerse a alumnos de 2º de ESO en adelante.

Para resolverlo hay que conocer las fórmulas de las áreas de figuras planas; y algo de proporcionalidad (Tales).

Problema
El cuadrado ABCD de la figura tiene lado 10. Si se corta siguiendo las líneas que se indican se obtienen siete trozos. ¿Cuál es el área de cada uno de los trozos?

Solución.