Geometría (202). Áreas

Foto: Antonio Martínez Garcia, Tenerife (La Candelaria) . En tiempos de cornavirus no estás solo.

Las cuestiones que se plantean en el problema que sigue se han obtenido del XXII Concurso de Primavera de Matemáticas.

Son fáciles y pueden proponerse a los alumnos de cualquier nivel de Enseñanza Secundaria. Hay que conocer el teorema de Pitágoras, y poco más.

Problema
Los puntos marcados en los siguientes hexágonos regulares son vértices o puntos medios de sus lados; en los casos (1) y (2) las demás líneas son paralelas a alguno de los lados. Deduce para cada caso la fracción de área del hexágono que representa la zona sombreada.

Solución.

Geometría (201). Demostración

Foto: Carmen Martínez García. Zaragoza, basílica del Pilar. (En tiempos de coronavirus no estás solo).

Este problema se ha obtenido del libro “Problemas de Matemáticas Elementales”, V. B. Lidski y otros, Editorial Mir 1978. (En ese libro hay una buena colección de problemas de Geometría de dificultad muy dispar; alguno de ellos se ha propuesto ya en este blog, procurando adaptarlos a los conocimientos de los estudiantes de secundaria).
Creo que es un problema fácil; para su resolución solo es necesario utilizar una propiedad de las tangentes a una circunferencia, y, por supuesto, conocer qué son las circunferencias inscrita y circunscrita a un triángulo.
Podría recomendarse a los alumnos de 3º de ESO en adelante.

Problema
Demuestra que en todo triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la suma de los diámetros de las circunferencias inscrita y circunscrita.

Solución.

Geometría (200). Lugar geométrico

Foto: Vatican News, 27/03/2020. En tiempos de coronavirus no estamos solos.

Otro problema obtenido de los materiales facilitados por la Real Sociedad Matemática Española para la preparación de las olimpiadas matemáticas: http://www.olimpiadamatematica.es/platea.pntic.mec.es/_csanchez/olimpmat.htm.

Para su resolución puede utilizarse el teorema de Pitágoras generalizado (teorema del coseno). También hay que conocer el concepto de media proporcional de magnitudes.   
Recomendable para los alumnos de bachillerato.

Problema
Siendo M el punto medio de un segmento de extremos A y B, estudia el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que PM sea media proporcional entre PA y PB.

Solución.

Geometría (199). Bisectriz

Foto: José María Martinez Garcia; Guadalupe, México.

Del XXI CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS 1ª FASE (Bachillerato)
https://www.concursoprimavera.es/resources/downloads/GvKdMHbhlP3p4yB4/problemas-2017-fase1-nivel4.pdf

Es un problema relativamente sencillo. Para su resolución basta con aplicar el teorema de Pitágoras y otras cuestiones básicas de Geometría. Por tanto, puede recomendarse a los alumnos de 2º de ESO en adelante.

Los alumnos de bachillerato también pueden hacerlo aplicando trigonometría.

Problema
En un triángulo rectángulo la bisectriz de un ángulo agudo corta al cateto opuesto en dos trozos de longitudes 1 y 2. ¿Cuál es la longitud del segmento de bisectriz interior al triángulo?

Solución.

Geometría (198). Ángulos ...

Foto: Carmen García Matas (Zorita de los Canes, Guadalajara)

Este problema se ha obtenido de los materiales facilitados por la Real Sociedad Matemática Española para la preparación de las olimpiadas matemáticas: http://www.olimpiadamatematica.es/platea.pntic.mec.es/_csanchez/olimpmat.htm.

Para su resolución hay que utilizar el resultado del post 197 de este blog; además, viene bien tener en cuenta los post 195 y 196.
Podría recomendarse a alumnos de bachillerato.

Problema
Se considera el triángulo ABC en el que A = 70º, B = 60º, y el triángulo A´B´C´ formado por los pies de las alturas de ABC. Hallar los ángulos A´, B´, C´.

Solución.

Geometría (197). Triángulo órtico

Foto: Antonio Martínez García, (Almazán, Soria)

El problema que se plantea a continuación es “un clásico”. Para su demostración solo hay que saber las definiciones de alturas y bisectrices, conocer algunas de sus propiedades y elegir las que convengan.

Pienso que no es sencillo. Podría recomendarse a alumnos de bachillerato.

Problema
Los pies de las alturas, puntos A´, B´ y C´, de un triángulo ABC son vértices de otro triángulo A´B´C´ (llamado triángulo órtico). Demostrar que las bisectrices del triángulo A´B´C´ coinciden con las alturas de ABC.

Solución.

Geometría (196). Suma de ángulos

Foto: José María Martínez García, Chicago.

Este problema se propuso en la Fase Autonómica de la Olimpiada Matemática (Comunidad Valenciana) a alumnos de 14 a 16 años.
https://www.semcv.org/images/stories/castello/proves_olimpiades/olimpiada_2009/fase_autonomica/secundaria/segon_cicle/enunciats.pdf

Es un problema similar al propuesto en el post 195 de este blog (el anterior a este). Como aquel, se puede resolver por trigonometría, aplicando la fórmula de la tangente de la suma de ángulos. Pero también como allí, se puede hacer de otra forma: buscando triángulos semejantes. Pienso que esta segunda forma es más interesante.

Problema
Se considera un cuadrado ABCD de lado 1. Sea P un punto del lado BC tal que la distancia de P a B es 1/2,
d(P, B) = 1/2, y Q otro punto de BC tal que la distancia de Q a B, d(Q, B) = 1/3. Demostrar que el ángulo BAC = ángulo BAP + ángulo BAQ.

Solución.

Geometría (195). Triángulos

Foto: Caty Martínez García, catedral de Barcelona

Este problema se ha obtenido de los materiales facilitados por la Real Sociedad Matemática Española para la preparación de las olimpiadas matemáticas: http://www.olimpiadamatematica.es/platea.pntic.mec.es/_csanchez/olimpmat.htm.

“La idea central de esta página es proporcionar a alumnos y profesores un material básico de problemas para preparación olímpica. Pensamos que puede ser especialmente útil a los que comienzan en estas tareas”.

 El problema que sigue es el número 12 de los propuestos.  Pienso que tiene un grado de dificultad aceptable para los alumnos de 4º de ESO en adelante. Requiere cierta habilidad para “comparar” triángulos.

Problema
Sobre un segmento AB = 2a, tomado como base, se construyen tres triángulos isósceles ACB, AC'B y AC"B, de alturas respectivas a, 2a y 3a. Demostrar que C + C' + C" = 180º.

Solución.