Foto: Carmen Martínez García (Roma, Santa María)
El problema que sigue es relativamente sencillo. Puede resolverse aplicando Pitágoras; algo de áreas y algo de ecuaciones.
La mayor dificultad es de índole algebraica, pues hay que operar con raíces. Por eso debería plantearse a los alumnos de 3º de ESO en adelante.
Problema
Halla el área de la región sombreada sabiendo que el radio del círculo grande mide 10 cm.
Foto: Antonio Martínez García
El problema que sigue se planteó en OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI
http://www.berritzegunenagusia.eus/mateolinpiada/markoa_c.htm
2º curso de E.S.O. PRIMERA FASE (13-3-2015)
Es un problema sencillo, del nivel que se indica. Pienso que puede servir para animar a los alumnos más jóvenes.
Problema
Con cinco rectángulos iguales, cada uno de 20 cm de perímetro, se forma el rectángulo ABCD de la figura. Calcula su área.
Foto: Cristina Martínez García (Alarilla, Guadalajara)
El problema que sigue se planteó, con ligeros cambios, en el XXII CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS, 2ª Fase, NIVEL IV (Bachillerato): https://www.concursoprimavera.es/resources/downloads/PfGnmXvEPLarlqb8/problemas-2018-fase2-nivel4.pdf
Para resolverlo basta con hacer algún arreglo en la figura y aplicar Pitágoras (y poco más). Aunque se propuso para Bachillerato puede plantearse a los alumnos de 3º de ESO en adelante.
Problema
La figura adjunta muestra dos circunferencias tangentes entre sí y un cuadrado de lado 10 cm, con un vértice en el centro de la circunferencia mayor y dos lados tangentes a ambas circunferencias. ¿Cuánto mide el lado de la circunferencia pequeña?
Foto: Cristina Martínez García
Te adjunto unas frases de «El hermoso signo del pesebre» del Papa Francisco, sobre el significado y el valor del belén.
“¿Por qué el belén suscita tanto asombro y nos conmueve? En primer lugar, porque manifiesta la ternura de Dios. Él, el Creador del universo, se abaja a nuestra pequeñez. El don de la vida, siempre misterioso para nosotros, nos cautiva aún más viendo que Aquel que nació de María es la fuente y protección de cada vida. En Jesús, el Padre nos ha dado un hermano que viene a buscarnos cuando estamos desorientados y perdemos el rumbo; un amigo fiel que siempre está cerca de nosotros; nos ha dado a su Hijo que nos perdona y nos levanta del pecado.
…
«Vayamos, pues, a Belén, y veamos lo que ha sucedido y que el Señor nos ha comunicado» (Lc 2,15), así dicen los pastores después del anuncio hecho por los ángeles.
Desde el belén, Jesús proclama, con manso poder, la llamada a compartir con los últimos el camino hacia un mundo más humano y fraterno, donde nadie sea excluido ni marginado. (…) en este nuevo mundo inaugurado por Jesús hay espacio para todo lo que es humano y para toda criatura. Del pastor al herrero, del panadero a los músicos, de las mujeres que llevan jarras de agua a los niños que juegan..., todo esto representa la santidad cotidiana, la alegría de hacer de manera extraordinaria las cosas de todos los días, cuando Jesús comparte con nosotros su vida divina”.
Y un villancico: Frío en Belén - Coro de Tajamar
Foto: Siân Williams, atardecer en Costa Rica
El problema que se plantea a continuación es bastante sencillo. Solamente hay que conocer el teorema de Tales y tener algo de ingenio. Puede proponerse a los alumnos de 2º de ESO y más.
Problema
Demostrar que la suma de las distancias de los cuatro vértices de un paralelogramo a una recta exterior es igual a cuatro veces la distancia del centro del paralelogramo (punto de corte de sus diagonales) a esa misma recta.
Foto: Antonio Martínez García (Museo de Tenerife, Owusu Ankomah)
El problema que se plantea a continuación es relativamente sencillo; puede proponerse a los alumnos más jóvenes, desde 1º de ESO.
Teniendo en cuenta el resultado general, pueden derivarse otros problemas más o menos sencillos; por ejemplo:
1. Demostrar que cada bisectriz determina (dentro del paralelogramo) un triángulo isósceles, siendo el lado más corto del paralelogramo el lado que se repite.
2. Demostrar que si el paralelogramo tiene un lado de longitud doble que el otro, entonces, el área del rectángulo obtenido es la cuarta parte que el área del paralelogramo.
Problema
Considera un paralelogramo (que no tenga los cuatro lados iguales).
a) Demostrar que los puntos de corte de las bisectrices interiores de sus ángulos son vértices de un rectángulo.
b) En el caso particular de un lado del paralelogramo sea tres veces más largo que el otro, ¿cuál es la razón de las áreas del paralelogramo y del rectángulo obtenido?
Foto: Pablo de la Peña Aguilera. El Teide
Propongo otro ejercicio encontrado en las viejas fotocopias de las que ya hablé en algún post anterior. El ejercicio tiene tres partes con dificultad creciente, aunque pueden resolverse sin apenas aparato matemático: suma de los ángulos de un triángulo; propiedades de los triángulos isósceles; alguna aplicación de Tales; …No obstante, la tercera requiere cierta habilidad.
Puede proponerse a estudiantes de 3º de ESO en adelante.
Problema
Se da un triángulo ABC, rectángulo en A y de altura AH. Desde H se trazan perpendiculares, HE y HD, sobre los lados AB y AC, respectivamente. Se pide:
a) Demostrar que DE = AH.
b) Si M es el punto medio de BC, demostrar que AM es perpendicular a DE.
c) Si H´ es el punto medio de AB, y BX es paralela a DE, entonces, las rectas BX, MH´ y AH se encuentran en un mismo punto; y AM, HD y BX también se cortan en un mismo punto.
Foto: Carmen García Matas (Recópolis, Guadalajara)
El problema que se plantea a continuación permite trabajar con los ángulos en un triángulo, con sus bisectrices y alturas; y, como es habitual, con Tales y Pitágoras.
Es un problema sencillo que puede proponerse a partir de 2º de ESO.
Problema
Cada uno de los vértices de un triángulo equilátero, ABC, se traslada sobre su lado izquierdo una longitud igual a un tercio del lado. Si los puntos son, respectivamente, A´, B´ y C´, entonces:
1) Demostrar que el triángulo A´B´C´ también es equilátero;
2) Comprobar que cada lado de A´B´C´ es perpendicular a uno de los lados de ABC;
3) Hallar la razón entre los perímetros y las áreas de ambos triángulos.
