Foto: Carmen García Matas (Mediterráneo en Daimuz)
IV CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS (2000, Nivel III, 2º Fase).
https://www.concursoprimavera.es/resources/problemas/problemas-2000-fase2-nivel3.pdf
El problema que sigue se planteó a los alumnos de 3º y 4º de ESO. Puede servir para recordar los teoremas del cateto y de la altura.
Problema
En la semicircunferencia de la figura, con centro O, OM = 3 · MQ y RM es perpendicular a PQ. ¿Cuál es el cociente PR/RM?
Foto: Caty Martínez García. (Madrid)
Esta entrada es la número 100. Me parece un número suficientemente significativo para que nos felicitemos todos.
El problema que sigue no es fácil, aunque habría que poner la coletilla de siempre, “hasta que se resuelve”. Es lo que pasa con los problemas de regla y compás: cuando se han resuelto parecen evidentes; pero hasta que se consigue puede pasar de todo.
Su enunciado ha aparecido en una vieja carpeta de hace más de 30 años. Allí tengo apuntadas unas referencias que he sido incapaz de localizar; dicen: Problema 47 (p.66) de “Problemas de Geometría”, J.M. Gómez Per…(no leo bien el segundo apellido). Con mi agradecimiento.
Problema
Dadas tres rectas paralelas, trazar un triángulo equilátero con vértices en cada una de las rectas.
Foto: Adrián Santos
IX CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS (2005, Nivel IV, 2º Fase)
https://www.concursoprimavera.es/resources/problemas/problemas-2005-fase2-nivel4.pdf
El problema que sigue se planteó a los alumnos de Bachillerato en el Concurso de Primavera. Su solución es muy fácil aplicando la noción de seno de un ángulo. Y es más fácil si se piensa un poco, cosa que no ha hecho el que suscribe; aunque después he completado el asunto.
Mi solución no coincidía con ninguna de las cinco dadas en el examen, pero dadoel cuidado con el que preparan las pruebas los organizadores del Concurso me he planteado hacerlas coincidir. Así ha sido; pero después, pensando un poco más, he dado con la solución casi inmediata, supongo que erala prevista por los organizadores.
Problema
El triángulo ABC de lados correspondientes a, b y c tiene un ángulo en A de 120º. Por ello podemos obtener girando, el triángulo equilátero BCD formado por tres triángulos como el de partida y un triángulo equilátero pequeño interior AEF. ¿Cuál es el área de este triángulo equilátero AEF?
Foto: Antonio Martínez García
El problema que planteo es un clásico "de regla y compás". En estos problemas es frecuente que “la idea” sea decisiva. Y más frecuente aún es que cuando esté resuelto parezca una obviedad. Algo de eso pasa aquí. Se trata de un problema sencillo cuando se ha resuelto.
Puede proponerse a los alumnos de bachillerato, aunque podría ponerse desde 2º de ESO, pues los conocimientos que se precisan son elementales para los seguidores de este blog: teorema de Tales; perpendicularidad; paralelismo…; que la distancia de un punto a una recta es la menor de las distancias posibles, la que hay entre el punto dado y su proyección (perpendicular) sobre la recta.
Por cierto, hay dos soluciones.
Problema
Dado un punto A sobre el lado r de un ángulo, encontrar otro punto B en el mismo lado que equidiste de A y del otro lado s.
Foto: Carmen García Matas (Parque de El Retiro, Madrid)
XXV JORNADA MATEMÁTICA VALENCIA GUADALAVIAR 2016 (3º de ESO, 2ª Fase)
http://colegioguadalaviar.es/jornada-matematica-valencia/#pruebas
Casi desconocida por mi, la Jornada Matemática Valenciana ha reunido en el último año a más de 3000 escolares en sus distintos niveles: desde Primaria hasta Bachillerato. Pienso que hay que felicitar a los organizadores del evento. Es bueno que los estudiantes, desde pequeños se acostumbren a ver las matemáticas como algo estimulante.
El problema que he elegido se propuso a los participantes de 3º de ESO. No tiene especiales dificultades y, además, puede hacerse de varias formas. Por tanto, ánimo.
Problema
¿Cuál es la altura de un triángulo que resulta prolongando los lados no paralelos de un trapecio cuyas bases son de 27 m y 38,50 m y su altura 15 m?
Foto. Cristina Martínez García
https://www.concursoprimavera.es/resources/problemas/problemas-2006-fase2-nivel3.pdf
Continúo con el mismo asunto que en el post 95. Se trata de otro problema sencillo, que se resuelve aplicando la relación de proporcionalidad, tanto en longitudes como en superficies. Como dije en el post anterior, puede ser apropiado para alumnos de 3º de ESO.
Problema
ABC es un triángulo equilátero y los puntos D, E, F, G, H, I dividen a los lados en tres partes iguales. ¿Cuál es el cociente entre el área del cuadrilátero DFGH y el triángulo ABC?
Foto: Adina Marín (Vaticano)
https://www.concursoprimavera.es/resources/problemas/problemas-2006-fase2-nivel3.pdf
En este post se propone otro problema sencillo. Se trata de aplicar la relación de proporcionalidad, tanto en longitudes como en superifices. Por tanto puede plantearse a los alumnos de 3º de ESO, pues en ese curso se estudian ambos conceptos.
Problema
En el triángulo ABC de la figura, de área 90 cm2, los puntos E y G dividen al lado AB en tres partes iguales y las rectas DE y FG son paralelas a BC. ¿Cuál es, en cm2, el área del trapecio DEGF?
Foto: Antonio Martínez García (En la ermita de Hornuez, Segovia)
https://www.concursoprimavera.es/resources/problemas/problemas-2005-fase2-nivel4.pdf
Como había anunciado en el post anterior (Geometría 93), vuelvo con otro problema sencillo. Los conocimientos necesarios para su resolución son los mismos: Tales, Pitágoras; y la propiedad de la tangente a una circunferencia.
Problema
Las dos circunferencias de la figura son tangentes exteriores y las rectas PAB y PA’B’ las tangentes comunes a ambas. Si PA = AB = 4, ¿cuánto mide el área del círculo pequeño?
