Geometría (93). Tales (otro)

Foto: Carmen Martínez García (un río noruego)

file:///C:/Users/Usuario/Downloads/problemas-2005-fase2-nivel3%20(1).pdf

Cuando propongo los problemas de este bolg a mis alumnos siento que les cuesta una barbaridad su resolución. Por eso, cuando comienzo estos posts con la “coletilla” de “el problema que propongo a continuación es relativamente sencillo”, no terminan de creerme. Pero ellos deben tener razón: no les resulta fácil.
Precisamente, la falta de conocimientos geométricos de los estudiantes de Secundaria, (de todos, de ESO y de Bachillerato), fue lo que me llevó a iniciar este Blog y a proponer estos problemas “sencillos”. Supongo que algo estaré aportando.
Pero esta vez es verdad: el problema siguiente es muy fáciles (y lo mismo haré en el siguiente). Espero que así se anime más de uno a resolverlos. Solo hay que conocer dos cosas: el de Tales y la propiedad de la tangente a una circunferencia. Por tanto, ¡ánimo!

Problema
Los radios de dos circunferencias concéntricas están en la razón 1 a 3. Si AC es un diámetro de la circunferencia grande, BC una cuerda de la grande tangente a la pequeña y AB = 12, ¿Cuánto vale el radio de la circunferencia grande?

Solución.

Geometría (92). Sin huecos (II)

Foto: Carmen García Matas (Guadalquivir por Córdoba)

Este post es una continuación del anterior (Geometría, 91). Allí se propuso un caso particular del problema general de “rodear un polígono regular de m lados por m polígonos regulares de n lados cada uno, sin que haya huecos ni superposiciones”. En concreto, se pedía: ¿Cuánto vale n si m = 10? La solución era que n = 5. Más abajo se dibuja la solución.

El lector interesado puede comprobar que una disposición de polígonos cumpliendo las exigencias anteriores generan diversos tipos de mosaicos. (La fotografía de portada del post 90 muestra uno de ellos). En la solución de este problema pueden verse algunos bocetos que he realizado.

Pero el problema que planteo es otro; es la demostración de que solo hay cuatro posibilidades de unir polígonos regulares en las condiciones descritas.  

Problema
Demuestra que solo hay cuatro soluciones para m de “rodear un polígono regular de m lados por m polígonos regulares de n lados cada uno, sin que haya huecos ni superposiciones”. En la imagen se muestra un polígono regular de 10 lados rodeado por 10 pentágonos regulares. (En el post anterior se da otro dibujo para m = 4).

Solución.

Geometría (91). Sin huecos

Foto: Ángela García Matas (Rocamadoure, Francia)

IX CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS, 2ª Fase, Nivel III, 2005
Problemas-2005-fase2-nivel3.pdf

El problema que se propone en este post trata de polígonos regulares. Para resolverlo solo es necesario conocer las medidas de sus ángulos en función del número de lados: conocer su fórmula o deducirlo en cada caso.
Aunque sea un problema sencillo no deja de ser curioso. De hecho, pienso que solo hay cuatro casos que presentan solución. Aquí se da resuelto el caso de m = 4; y se pide resolverlo para m = 10. (Como digo, pienso que solo hay otros dos polígonos regulares interiores para los que puede encontrarse solución. Si algún lector se anima, puede intentar buscarlos).

Problema
Rodeamos un polígono regular de m lados por m polígonos regulares de n lados cada uno, sin que haya huecos ni  superposiciones. (En la figura que te mostramos, m = 4 y n = 8). ¿Cuánto vale n si m = 10?

Solución.

Geometría (90). Relación

Foto: Carmen García Matas (Sevilla)

VII CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS, 2ª Fase, 2003
Problemas-2003-fase2-nivel4%20(1).pdf

El problema que sigue es relativamente sencillo. Se propuso a estudiantes de bachillerato, pero puede hacerlo cualquier alumno de ESO, al menos a partir de 3º. Se necesita conocer los teoremas de Tales y de Pitágoras.

Problema
En el triángulo rectángulo, PQR la hipotenusa PR está dividida en tres trozos iguales por los puntos S y T. Si QS^2 + QT^2 = k·PR^2 , ¿cuánto vale k? 

Solución.

Navidad 2016

Foto: Inés Ca Rodríguez. (Belén del IES Complutense)

Más allá de la geometría.

A todos mis amigos amantes de la Geometría:

FELIZ NAVIDAD Y UN NUEVO AÑO LLENO DE ALEGRÍA

San Juan de la Cruz, Romances.
http://www.mercaba.org/DOCTORES/JUAN-CRUZ/poesias.htm

Ya que era llegado el tiempo
en que de nacer había,
así como desposado
de su tálamo salía
abrazado con su esposa,
que en sus brazos la traía,
al cual la graciosa Madre
en un pesebre ponía,
entre unos animales
que a la sazón allí había.
Los hombres decían cantares,
los ángeles melodía,
festejando el desposorio
que entre tales dos había.
Pero Dios en el pesebre
allí lloraba y gemía,
que eran joyas que la esposa
al desposorio traía.
Y la Madre estaba en pasmo
de que tal trueque veía:
el llanto del hombre en Dios,
y en el hombre la alegría,
lo cual del uno y del otro
tan ajeno ser solía.

Geometría (88). Área

Foto: Adina Marín (Sevilla)

Societat d'Educació Matemàtica Al-Khwarizmi

Olimpiada Matemática 2011. Fase provincial. Categoría 14–16 años.

Problema
Se tiene un hexágono regular de 12 cm de lado. ¿Cuánto mide la superficie de la región sombreada?

Solución.

Geometría (87). Áreas

Foto: Eugenio Martín Miranda. (Castro de La Guardia)

Societat d'Educació Matemàtica Al-Khwarizmi
http://www.semcv.org/fasevalencia/olimpiades-anteriors-valencia/201-olim2011xativa

El problema que sigue fue propuesto en 2011 en la fase valenciana de la XXII Olimpiada Matemática, a los alumnos de 3º y 4º de ESO. Aunque no es un problema difícil requiere cierto manejo de las propiedades de los hexágonos regulares: lados, ángulos,…Su resolución puede ayudar a consolidar el manejo de expresiones con radicales.

Problema
El lado de los hexágonos interiores mide 3 cm, ¿cuánto mide la superficie de las regiones sombreadas?

Solución.

Geometría (86). Recortando

Foto: Antonio Martínez García (Montejo de la Vega, buitreras)

Olimpiada matemática Thales
http://thales.cica.es/olimpiada2//?q=node/181

Los problemas que siguen, aunque con un enunciado diferente, se propusieron en la Olimpiada matemáticas Thales (VII y IX OMT: Provincial 1). Ambos son sencillos. El cambio de enunciado consiste en proponer que se resuelvan sin aplicar fórmulas; pediré que se resuelvan recortando adecuadamente las figuras.

Problema 1
La figura de abajo está formada por tres cuadrados y dos triángulos isósceles. Si la superficie del cuadrado pequeño es a, ¿cuánto mide la superficie de toda la figura?

Problema 2
Dos cuadrados iguales en el plano (de lado x) se mueven de modo que uno de los vértices de uno de ellos es el centro del otro cuadrado. ¿Qué fracción del área del cuadrado corresponde a la superficie sombreada?

Soluciones.