Geometría (85). Monedas

Foto: Antonio Martínez García (Montejo de la Vega)

OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI (2º curso de E.S.O. Primera Fase 13–III–2015)
http://www.berritzegunenagusia.eus/mateolinpiada/markoa_c.htm

El problema que sigue es sencillo. Se propuso a los alumnos de 2º de ESO en la Olimpada Matemática de Euskadi.
Para su resolución solo se necesita conocer el teorema de Pitágoras y un par de fórmula para el cálculo de áreas de figuras planas.

Problema
Dentro de un rectángulo cuya largura es de 6 cm metemos 6 monedas iguales como se ve en la figura. ¿Cuánto mide el área sombreada?.
(Te puede servir de ayuda el triángulo punteado).

Solución.

Geometría (84). Estrella

Foto: José Mª Martínez García (Desierto de Arabia)

OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI (2º curso de E.S.O. Fase Final 14–V–2016)
http://www.berritzegunenagusia.eus/mateolinpiada/markoa_c.htm

El problema que se propone en este post es relativamente sencillo y tiene la ventaja de que puede ser atractivo para los alumnos jóvenes: puede ser apropiado a partir de 2º de ESO.
Para su resolución se necesita conocer las siguientes cuestiones:
1. La suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
2.Valor de cada ángulo cuando el polígono es regular.
3. Relación entre el número de lados de un polígono regular y el valor de cada ángulo.
Y lo imprescindible, como siempre, deseo de resolver el problema.
Observación: En el post “Geometría (44)” de este Blog ya se hizo un problema similar.

Problema
Elena  quiere hacer  una pulsera usando como única componente una estrella regular de cinco puntas. Colocándolas como se ve ve en la figura, ¿cuántas serán necesarias para completar la pulsera? Justifica la respuesta.

Solución.

Geometría (83). Octógono

Foto: Cristina Martínez García (Madrid, Retiro)

VII Concurso de Primavera de Matemáticas (2ª Fase, nivel IV, Bachillerato)

El problema que sigue es sencillo. Aunque se propuso para estudiantes de Bachillerato pueden resolverlo los estudiantes de 2º de ESO en adelante. 
Hay que manejar con soltura las cuestiones relacionadas con ángulos inscritos y con triángulos isósceles y rectángulos.

Problema
Un octógono regular ABCDEFGH tiene lado 2 cm. ¿Cuál es el área del triángulo ADG?

Solución.

Geometría (82). Cuadrilátero

Foto: Carmen García Matas (Puente sobre el río Duero en Soria)

XX Concurso de Primavera de Matemáticas (2ª Fase, nivel IV, Bachillerato)

El problema que sigue es relativamente sencillo. Puede proponerse a los alumnos de 3º de ESO en adelante.
Para su resolución se requiere operar con cierta soltura y conocer algunos resultados básicos de geometría relacionados con triángulo isósceles y rectángulos.

Problema
En el triángulo isósceles PQR de la figura, PQ = PR y QR = 300. Sobre el lado PR se toma un punto T y sobre el PQ otro punto S de manera que ST es perpendicular a PR. Si ST = 120, TR = 271 y QS = 221, ¿cuál es el área del cuadrilátero STRQ?

Solución.

Geometría (81). Tales (V)

Foto: Aitor Merinero (Laguna de Peñalara).
XX Concurso Matemático de Primavera de Matemáticas (2ª Fase, nivel IV, Bachillerato)

El problema que sigue es muy sencillo. Aunque se propuso para estudiantes de Bachillerato pueden resolverlo los estudiantes de Enseñanza Media de cualquier nivel.
Lo único que se necesita es aplicar el teorema de Tales.

Problema
Seis rectángulos idénticos, de base b y altura h, están colocados como muestra la figura. El segmento PQ intercepta a un lado vertical de uno de ellos en X y a un lado horizontal de otro en Z. Si el triángulo rectángulo XYZ se verifica que YZ = 2 · XY, ¿cuánto vale el cociente h/b?

Solución.

Geometría (80). Radios

Foto: Jimena Martín García (Catedral de Cuenca)

XX Concurso de Primavera de Matemáticas (1ª Fase, nivel IV)

El problema que sigue no es sencillo para los estudiantes de Enseñanza Media, pues requiere una combinación de varios conceptos geométricos. No obstante, puede proponerse a los alumnos a partir de 3º de ESO.
Para resolverlo hay que utilizar:
1) Un par de propiedades de la recta tangente a la circunferencia.
2) Los teoremas de tales y de Pitágoras.

Problema
El triángulo PQR es rectángulo en R. La circunferencia con centro P y radio PR corta a PQ en S y la circunferencia con centro en Q y radio QS corta a QR en T. Si T es el punto medio del lado QR, ¿cuál es el cociente entre QS y SP?

Solución.

Geometría (79). Triángulo (en cuadrado)

Foto: Cristina Martínez García

Del XVIII Concurso de Primavera de la Comunidad de Madrid (Fase 1ª, Nivel IV, año 2014)

De nuevo propongo un problema fácil. Para resolverlo basta con utilizar el teorema de Tales.

Problema
En un cuadrado  ABCD, E y F son los puntos medios se los lados AB y AD, respectivamente. Se toma el punto G de CF de tal modo que 3CG = 2GF. Si el lado del cuadrado es 2, ¿cuál es el área del triángulo BEG?

Solución.

Geometría (78). Rombo

Foto: Eugenio Martín Miranda (Pirineos)

Del XX Concurso de Primavera de la Comunidad de Madrid (Fase 1ª, Nivel IV, año 2016)

De nuevo propongo un problema fácil. Es solo cuestión de vista.

Problema
El área del rombo inscrito al hexágono regular de la figura es de 24 cm2. La del hexágono regular, en cm2, es…

Solución.