Geometría (77). Vasija con problema

Foto: Adina Marín (Roma)

El presente problema tiene una pequeña historia que voy a compartir.
Me llegó a través de mi amigo Roberto Cardil. En un e–mail me contaba que casualmente se había encontrado con un problema que podía ser interesante para el blog. Me decía: “Se trata de un problema matemático grabado en un vaso celtibérico que fue estudiado por el profesor de la UAH Joaquín Gómez-Pantoja. … No es muy complicado (…). He aplicado el Teorema del Coseno… Me intriga saber si este problema era sencillo en la época de los romanos. Tengo la impresión de que no”.

La historia del descubrimiento del vaso que nos ocupa es lo más interesante de este post. Está muy bien contada por el profesor Gómez-Pantoja en http://dadun.unav.edu/bitstream/10171/21261/1/07.JGP.pdf
También, aunque no está relacionado con este trabajo, aprovecho para recomendar la página web del  profesor Roberto Cardil: http://www.matematicasvisuales.com/ (Personalmente me parece un trabajo extraordinario).
Pero vamos al problema.

Problema
“Desde este ángulo a este otro ¿cuántos pies hay (si AΒ mide) 11 (pies), 9 ½ (onzas); (ΒΓ  son) 9 (pies), 8 ½ (onzas); (ΔΓ  mide) 8 (pies), 9 ½ (onzas); (ΑΔ son)  13 (pies), 3 (onzas) y (ΑΓ mide) 13 (pies), 9 (onzas)?”. 
(Esto es mío: Pide la distancia del vértice más alto al más bajo).

Solución.

Geometría (76). Rectángulo

Foto: Carmen García Matas (Soria)

Del VI Concurso de Primavera de la Comunidad de Madrid (Fase 2, Nivel IV, año 2002)

De nuevo propongo un problema fácil. Para su resolución solo se requiere aplicar sucesivamente los teoremas de Pitágoras y Tales.

Problema
A partir de un cuadrado de lado 1 cm, construimos un hexágono regular como indica la figura. ¿Cuánto vale el área, en cm2, de la zona común a ambas figuras?

Solución.

Geometría (75). Triángulo (II)

Foto: Caty Martínez García (París)

De la LII Olimpiada Matemática Española (Fase Local, 2016)

Utilizando los resultados de los Post Geometría (73) y Geometría (74), en los se trató sobre los teorema de la bisectriz y de Ceva, vuelvo con el problema propuesto en el Post (72).
Es una solución menos intuitiva pro más directa. Merece la pena estudiarla.
Recuerdo que el problema era el siguiente:

Problema
En un  triángulo ABC la bisectriz por A, la mediana por B y la altura por C son concurrentes y además la bisectriz  por A y la mediana por B son perpendiculares. Si el lado AB mide una unidad, calcular cuánto miden los otros dos lados.

Solución.

Geometría (74). Teorema de Ceva

Foto: Carmen Martínez García (Noruega)

Al resolver el problema propuesto en el Post 72 me topé con una solución que utiliza el teorema de la bisectriz y el teorema de Ceva.
En el Post 73 se propuso como problema el teorema de la bisectriz; en este propondré una de las variantes del teorema de Ceva. (Para el lector interesado, en Internet se puede encontrar bastante información sobre el asunto).
La demostración que propongo no es difícil, pero tampoco elemental. Digamos que hay que tener un interés notable para, en los tiempos que corren, afrontarla y dedicarle un par de horas para conseguir hacerla (no para estudiarla, que eso se hace en 10 minutos).
Para tal propósito he necesitado:
1) Hallar las superficies de algunos de los triángulos que aparecen en el dibujo.
2) Establecer la razón entre sus bases y sus superficies.
3) Utilizar alguna de las propiedades de las proporciones: En concreto: “si se tiene una serie de razones iguales, la suma (diferencia?) de los antecedentes partido por la suma de los consecuentes es igual a cualquiera de las razones”. Esto es: si a/b = c/d = k, entonces (a + c)/(b + d) = k.
4) Multiplicar las razones que aparecen en el enunciado que propongo a continuación y comprobar que su producto es 1.

Problema: Demuestra el teorema de Ceva
Sean A, B, C vértices de un triángulo y los puntos P, Q, R en sus respectivos lados opuestos. Si las rectas AP, BQ y CR son concurrentes entonces se verifica que:

Solución.

Geometría (73). Teorema de la bisectriz

Foto: Miguel Quntero Goicoechea (París)

Al resolver el problema propuesto en el Post 72 me topé con una solución que utiliza el teorema de la bisectriz y el teorema de Ceva. En el contexto de la solución se emplean con toda naturalidad, casi dando por supuesto que ambos teoremas deben conocerse; pero la realidad es bien distinta, pues hace muchísimos años que en los programas de Geometría de las enseñanzas medias no aparecen. No obstante, son teoremas fáciles e interesantes. Los propondré como problemas.
El teorema de la bisectriz se demuestra a partir del teorema del seno, que se estudia en 4º de la ESO. (Haré mi demostración favorita de este teorema (del seno) en la solución).

Problema: Demuestra el teorema de la bisectriz
“En un triángulo, la razón entre dos lados es igual a la razón entre las partes en las que queda dividido el tercer lado por la bisectriz del ángulo interno”.

Solución.

Geometría (72). Triángulo

Foto: Carmen García Matas (Madrid)

De la LII Olimpiada Matemática Española (Fase Local, 2016)

El problema que sigue no es nada sencillo; no es sencillo hasta que se resuelve, pues entonces parece fácil. Para su resolución se requiere manejar con soltura los conceptos y resultados relacionados con la semejanza de segmentos y de triángulos.
En Internet he visto una solución que utiliza el teorema de la bisectriz y el teorema de Cova. En mi caso no los he necesitado. No obstante, como me parecen teoremas interesantes los propondré en las siguientes entradas del este Blog.

Problema
En un triángulo ABC la bisectriz por A, la mediana por B y la altura por C son concurrentes y además la bisectriz por A y la mediana por B son perpendiculares. Si el lado AB mide una unidad, calcular cuánto miden los otros dos lados.

Solución.

Geometría (71). Triángulos rectángulos

Foto: Cristina Martínez García (Costa asturiana)

XX Concurso de Primavera de Matemáticas (2016)
http://www.sociedadpuigadam.es/primavera/problemas/2016/2016_1_nivel4.pdf

El problema que sigue es muy sencillo. Se propuso a alumnos de Bachillerato pero puede hacerlo cualquier alumno de Secundaria, pues basta con aplicar el teorema de Tales (la proporcionalidad geométrica) y poco más.

Problema
Los lados del rectángulo de la figura son uno doble que otro. Si BE es perpendicular a la diagonal AC, ¿cuánto vale el cociente entre el área del triángulo ABE y el área del rectángulo ABCD?

Solución.

Geometría (70). Circunferencias

Foto: Carmen Martínez García

XX Concurso de Primavera de Matemáticas (2016)
http://www.sociedadpuigadam.es/primavera/problemas/2016/2016_1_nivel4.pdf

El problema que sigue es muy sencillo. Se propuso a alumnos de Bachillerato pero puede hacerlo cualquier alumno de Secundaria, pues basta con conocer las cuestiones básicas de Geometría.

Problema
En la figura se observan dos  circunferencias de radios 90 y 40, respectivamente, tangentes entre sí y tangentes a dos rectas que se cortan en el punto A. Si B es un punto de tangencia, ¿cuál es la distancia de A a B?

Solución.