Geometría (19). Áreas en cuadrados

Foto: Eva Alonso Botija (Budapest)

Canguromat.net.es: XXII Concurso Canguro Matemático 2015 (1º bachillerato)

En esta “entrada” te propongo dos problemas de áreas. Aunque se han propuesto en un concurso para alumnos de 1º de bachillerato pienso que son muy sencillos: pueden resolverlos alumnos de 2º de ESO en adelante. Los únicos conocimientos que se requieren son las fórmulas de las áreas de las figuras planas y el teorema de Pitágoras. También se necesita un poquito de ingenio, pero eso se da por supuesto en los lectores de este blog.

Problema 1 
En un cuadrado de lado a se traza un semicírculo y dos arcos de cuadrante, tal como se indica en la figura. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

Problema 2
En el  cuadrado ABCD tiene de área 80. Los puntos E, F, G y H están en los lados del cuadrado y son tales que 3 · EB = AE = CG = DH. ¿Cuál es el área de la parte gris?

Soluciones.

Geometría (18). Proporcionalidad en un triángulo

Foto: Catalina Martínez García (Heidelberg, Alemania) 

Canguromat.net.es: XXII Concurso Canguro Matemático 2015 (2º bachillerato)

En esta “entrada” te propongo un problema de áreas. Aunque no se necesita ningún conocimiento especial, aparte de los relacionados con la proporcionalidad (otra vez Tales) y con el cálculo de áreas de figuras planas, pienso que no es un problema sencillo; vamos, que no es inmediato, que hay que dedicarle un rato.

Como podrás comprobar si pinchas en la solución (pero no lo hagas hasta haber intentado dar con tu solución), propongo tres formas diferentes de resolverlo. Esta variedad de soluciones permite vislumbrar las grandes posibilidades que tiene la Geometría para enseñar a pensar a la gente (jóvenes y mayores; alumnos y profesores). La primera solución puede considerarse la directa: la que del sabe lo que tiene que hacer y se lanza a ello. La segunda exige una cierta elaboración del concepto de proporcionalidad, pues pasa de la proporcionalidad en la longitud a la proporcionalidad en la superficie. La tercera es la más sencilla, aunque quizás la menos inmediata.  

Problema
En el triángulo ABC, podemos trazar una recta paralela a la base AC, por el punto X o por el punto Y. Las áreas grises de las regiones resultantes que se ven en la figura son iguales. La razón BX : XA tiene el valor BX : XA = 4 : 1. ¿Cuál es el valor de la razón BY : YA?   

Soluciones.

Geometría (17). Problema de áreas

Foto: Cristina Martínez García (San Vicente de la Barquera, Cantabria)

Canguromat.net.es: XXII Concurso Canguro Matemático 2015 (2º bachillerato)

En esta “entrada” te propongo otro problema de áreas. Aunque no es muy difícil (podría hacerse con los conocimientos de 2º de ESO), para resolverlo se requiere cierta habilidad y algo de paciencia. Una solución se obtiene mediante el cálculo de las áreas de los triángulos que aparecen al descomponer el rectángulo siguiendo el enunciado del problema.
Para conseguirlo necesitas conocer y manejar con soltura:
El concepto de proporcionalidad de longitudes (Tales).
El cálculo de áreas de triángulos.

Problema 1
En el rectángulo ABCD de la figura, M1 es el punto medio de DC; M2 es el punto medio de AM1; M3 es el punto medio de BM2; y M4 es el punto medio de CM3. Halla la razón entre el área del cuadrilátero M1M2M3M4 y la de ABCD.
(Donde pone M1 quiero poner M sub 1; y lo mismo con M2, M3 y M4).

Solución.

Geometría (16). Problemas de cuadrados

Foto: Antonio Martínez García
Comunidad Valenciana. De la fase provincial de la Olimpiada Matemática (2010 y 2005)

En esta “entrada” te propongo dos problemas de cuadrados. Para su resolución sólo se requiere conocer el teorema de Pitágoras, pero, mientras que el primero es casi inmediato, para resolver el segundo es necesario “recolocar” la figura, fragmentarla, buscando triángulos rectángulos adecuados: el segundo problema no es sencillo.
Estos problemas pueden ser apropiados para alumnos de 3º o 4º de ESO.

Problema 1
En la figura se muestra un cuadrado de lado 1. Si el triángulo CMN es un triángulo equilátero que se traza como se indica en la figura, ¿cuánto vale el área de dicho triángulo?

Problema 2
En un cuadrado ABCD de lado desconocido, localizar un punto P que esté a 2 cm del vértice A, a 3 cm del vértice B y a 4 cm del vértice C. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado? ¿Dónde está el punto P?

Soluciones.

Geometría (15). Problema de ángulos

Foto: Carmen Martínez García (Praga)
Del XXIV Concurso de Resolución de problemas “Sociedad Puig Adam”
 

Vuelvo con un problema no sencillo. A mí me ha llevado su resolución varios intentos; además me he quedado con las ganas de dar con una solución “bonita”, en la que no sea preciso el empleo de razones trigonométricas. Estoy convencido de que debe existir esa solución que busco (métrica, de las de regla y compás), pero no he dado con ella. (Si alguno de los lectores de este blog la encuentra, le ruego que me la envíe).
Si te propones resolverlo y no te sale, no te obceques; déjalo para otro rato. Y si después de un par de intentos no se te ocurre nada exitoso mira la solución que doy al final. Comprobarás que es muy sencilla, como casi todas las cosas que se han resuelto.
De cualquier manera, ánimo. Espero que pases un buen rato.
Necesitas conocer:
Las propiedades básicas de los triángulos; en particular de los isósceles.
La razón trigonométrica seno de un ángulo.
El cálculo del área de un triángulo.
El teorema de los senos.

Problema
En el triángulo ABC, D es el punto medio del lado AB y E, que está en BC, verifica BE = 2 · EC. Si el ángulo ADC es igual al ángulo BAE, ¿cuánto mide el ángulo A del triángulo dado?

Observación:
Lo primero que debes hacer es construir un triángulo que cumpla, aproximadamente, las condiciones que indica el problema.

Solución

Geometría (14). Círculos y cuadrados

Foto: Carmen Martínez García (Londres)
Comunidad Valenciana. De la fase provincial de la Olimpiada Matemática (2007 y 2013)

En esta “entrada” te propongo dos problemas en los que intervienen cuadrados y círculos. Se propusieron para alumnos de 3º y 4º de ESO y pueden calificarse de dificultad media para ese nivel. El segundo me parece un poco más difícil que el primero, pero el aparato matemático necesario para su resolución es muy similar: se trata de ver determinadas relaciones métricas entre los lados del cuadrado y los radios de los círculos.

Para su resolución sólo se necesita saber el teorema de Pitágoras; y que la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio correspondiente en el punto de tangencia.

Problema 1
La figura adjunta está formada por dos círculos tangentes iguales, inscritos en un cuadrado. Calcula el área del cuadrado sabiendo que el radio de los dos círculos es de 1 cm.

Problema 2
Calcula el área sombreada de la figura, formada por dos semicírculos inscritos en un cuadrado de lado 4 cm. (los centros de los semicírculos están en una diagonal del cuadrado).

Soluciones.

Geometría (13). Medianas de un triángulo

Foto: Carmen Martínez G. (Londres)

El objetivo de este post es que recuerdes (o que aprendas) qué es el baricentro de un triángulo. Es un ejercicio teórico, relativamente sencillo para un estudiante que siga este blog.

Las medianas de un triángulo son las rectas que unen cada vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.
Las tres medianas del triángulo se cortan en el mismo punto. Ese punto recibe el nombre de baricentro.

Con relación al baricentro te propongo dos cosas:

1) Demuestra que dicho punto está a doble distancia del vértice que del punto de corte de la mediana con el lado opuesto. Esto es, si P es el baricentro del triángulo ABC y M, N y Q los puntos medios de los lados opuestos a los vértices A, B y C, respectivamente, entonces la distancia AP es doble que la distancia PM. (Y lo mismo para las demás medianas).
2) De paso demuestra que, efectivamente, las tres medianas se cortan en ese punto.

Sugerencia:
La demostración de estas propiedades es relativamente sencilla; y hay varias formas de hacerlo. Te animo a ello. Para mí, la más intuitiva consiste en comprobar que los seis triángulos pequeños en los que las medianas dividen al triángulo inicial tienen la misma superficie. (Si no lo consigues puedes ver cualquiera de las dos soluciones que indico en la solución).

Solución

Geometría (12). Problemas de ángulos

Foto: Carmen Martínez García (Madrid, Palacio Real)
Comunidad Valenciana. De la fase provincial de la Olimpiada Matemática (2005 y 2011)

En esta “entrada” te propongo dos problemas muy sencillos. Para su resolución sólo necesitas saber las siguientes cuestiones:
La suma de los ángulos de un triángulo vale 180º.
Todos los triángulos inscritos en una semicircunferencia que descansan sobre el diámetro son rectángulos.
La altura de un triángulo equilátero divide al lado sobre el que cae en dos partes iguales.
Si un triángulo tiene dos ángulos iguales, es isósceles.

 Problema 1
Calcula el valor de todos los ángulos de la siguiente figura sabiendo que el ángulo 1 vale 70º.

Problema 2
Dados los siguientes triángulos, ABC y CDE, equiláteros, de lados 1 y 1/2, respectivamente, demuestra que: (a) el triángulo DEG es isósceles y (b) que ACD es rectángulo.

Soluciones