Geometría (11). Circunferencias

Foto: Pablo de la Peña Aguilera
Del XXIV Concurso de Resolución de problemas “Sociedad Puig Adam”

El problema que se propone a continuación no es sencillo, aunque no requiere conocimientos especiales. Basta con saber las cuestiones de geometría que venimos recordando en este blog, pero además hay que tener algo de paciencia, pues lo normal es que no se “vea” a la primera, como pasa con el autillo de la foto.  Si no consigues resolverlo no abras la solución que se da aquí; vuelve a pensarlo otro día… Lo importante es que seas tú el que lo resuelvas.

 Problema
Consideramos una semicircunferencia de centro O y diámetro AB. Dos circunferencias, Kl y K2, tangentes exteriores, son tangentes a la semicircunferencia, y tangentes a su diámetro AB, la primera de ellas precisamente en el punto O. Si AB = 8, determina el radio r de la circunferencia K2.

Sugerencia:
A mí me ha ido bien trazar las tangentes exteriores comunes a las circunferencias K1 y K2; después he trazado la recta que une sus centros; a continuación he visto que… Y, como tantas veces, aplicar Tales y Pitágoras.

Solución.

Geometría (10). Áreas

Foto: Miguel Quintero (Palacio de Carlos V, Granada) 
Del Concurso de Primavera de Matemáticas. Comunidad de Madrid

Los problemas que siguen pueden proponerse a estudiantes de bachillerato. 
Para su resolución se necesita saber:
1) La definción de seno de un ángulo.
2) El teorema de Pitágoras
3) El teorema del coseno.

Problema 1
Un cuadrado y un triángulo equilátero tienen el mismo perímetro. Si A es el área del circulo circunscrito al cuadrado y B el área del círculo circunscrito al triángulo, ¿cuánto vale el cociente A/B?
Sugerencias: 1. Dibuja las circunferencias circunscritas a cada figura. 2. Calcula el área de cada círculo en función de la longitud del lado de cada polígono inscrito..

Problema 2
El triángulo ABC de lados correspondientes a, b y c tiene un ángulo en A de 120º. Por ello puede obtenerse girando, el triángulo equilátero BCD formado por tres triángulos como el de partida y un triángulo equilátero pequeño interior AEF (tal como se indica en la figura). Halla el área de este triángulo equilátero AEF en función de los lados a, b y c.

Soluciones

Geometría (9). Longitudes y áreas

Foto: Pablo de la Peña Aguilera 
La magnífica foto de Pablo merecería un problema en el que interviniera algún elemento simétrico. No es el caso, aunque algo puede intuirse en el primer problema que sigue. 

Del Concurso de Primavera de Matemáticas. Comunidad de Madrid

Para la resolución de los problemas de este post necesitas saber:
1) La propiedad de la bisectriz de un ángulo: todo punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo.
2) La propiedad de la recta tangente a una circunferencia: es perpendicular al radio correspondiente en el punto de tangencia.
3) El teorema de Pitágoras.
4) El teorema de Tales: semejanza de triángulos.
5) Definición de seno de un ángulo. 

Problema 1
En el triángulo ABC de la figura, el punto D está en el lado CB. Si los ángulos CAD y DAB son ambos de 60º y AC = 3 y AB = 6, ¿cuál es la longitud de AD?

Problema 2
Determina el área del triángulo AHB de la siguiente figura.

Problema 3
Las dos circunferencias de la figura son tangentes exteriores y las rectas PAB y PA’B’ las tangentes comunes a ambas. Si PA = AB = 4, halla el área del círculo pequeño.

Soluciones

Geometría (8). Longitudes;

Foto: Caty Martínez (Granada)
Del Concurso de Primavera de Matemáticas. Comunidad de Madrid

Te propongo otros tres problemas fáciles (en el sentido de que no hay que saber demasiadas cosas de matemáticas para su resolución); aunque los problemas son fáciles solamente cuando se han resuelto. En este caso es posible que el Problema 2 no sea tan sencillo, a mi es el que más me ha costado.
Para la resolución de los problemas de este post necesitas saber:
1) La propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia.
2) El teorema de Pitágoras.
3) El teorema de Tales: semejanza de triángulos.

Problema 1
El segmento AB es diámetro de una circunferencia de radio 1 y lado del triángulo equilátero ABC. Esta circunferencia corta a los lados AC y BC en los puntos D y E, respectivamente. ¿Cuál es la longitud de AE?

Problema 2
En un triángulo de lados 3, 4 y 5 se inscribe un cuadrado como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?

Problema 3
El polígono PQRS de la figura es un cuadrado de lado 12. Si los segmentos PT y MN son perpendiculares y se cortan en un punto X de tal forma que ST = 5 y MX = 4, ¿cuál es la longitud de XN?

Soluciones

Geometría (7). Ángulos

Foto: Antonio Martínez García (Valencia)
Del Concurso de Primavera de Matemáticas. Comunidad de Madrid

De nuevo propongo problemas de ángulos; también sencillos, como viene siendo habitual. Para resolverlos basta con saber:
1)   La suma de los ángulos de cualquier triángulo vale 180º.
2)   Las propiedades de los triángulos isósceles: dos lados iguales y ángulos opuestos a ellos también iguales.
3)   La suma de los ángulos de un pentágono es 540º. (Un pentágono se puede descomponer en tres triángulos: 3 · 180º = 540º).

Problema 1
En la siguiente figura, el pentágono ABCDE es regular y el triángulo DPC, equilátero. ¿Cuál es el valor del ángulo x?

Problema 2
En el triángulo ABC de la siguiente figura, el ángulo A mide 55º. Si BD = BE y el ángulo BDE mide 65º, ¿cuánto mide el ángulo C?

Problema 3
¿Cuánto mide el ángulo x de la siguiente figura?

Soluciones

Geometría (6). Ángulos en la circunferencia

(Maderuelo, Segovia; España). Foto: Cristina Martínez García

En este post te propongo tres problemas relacionados con ángulos inscritos en la circunferencia. El primero es de carácter teórico; los otros dos son aplicaciones del primero. Como viene siendo habitual en este blog ambos pueden calificarse de sencillos. 
Algunas cuestiones que debes saber son:
1) Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio correspondiente al punto de tangencia.
2) La suma de los ángulos de un triángulo vale 180º.
3) Las propiedades de los triángulos isósceles: dos lados iguales y ángulos opuestos a ellos también iguales.

Problema 1
Demuestra que el ángulo inscrito en una circunferencia, determinado por un lado secante y otro tangente a la circunferencia, vale la mitad que el ángulo central correspondiente. Esto es: la medida del ángulo BAC es la mitad que la del ángulo AOC. (Véase la siguiente figura).

Problema 2
En la siguiente figura la circunferencia dada es inscrita al triángulo grande y circunscrita al pequeño. Si el ángulo dado mide 55º, ¿cuánto mide x?

Problema 3
La circunferencia de la figura es tangente a la recta horizontal en el punto A y las cuerdas BA y BC tienen la misma longitud. La prolongación de la cuerda BC corta a la recta en el punto D. Si el ángulo en A vale 70º, ¿cuanto mide x?

Soluciones

Geometría (5). Ángulos en la circunferencia

(Burgos, España). Foto: Catalina Martínez García
Del Concurso de Primavera de Matemáticas (varios años)

Vuelvo a proponer tres problemas sencillos relacionados con ángulos inscritos en una circunferencia. Para resolverlos basta con saber:
Ángulo central: es cualquier ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia. (Todo ángulo central está determinado por dos radios). La medida de un ángulo central es la de su arco correspondiente.
Ángulo inscrito: es el que tiene su vértice en un punto de la circunferencia, siendo sus lados secantes o tangentes a ella.
Propiedad de los ángulos inscritos:
Todo ángulo inscrito en una circunferencia vale la mitad que el ángulo central correspondiente (el que abarca el mismo arco). Esto es: la medida del ángulo BAC es la mitad que la del ángulo BOC. O también: ángulo BOC = 2 · (ángulo BAC).
-También debe saberse que los ángulos interiores de un triángulo suman 180º; los de un cuadrilátero, 360º; …

Problema 1
En la siguiente figura se tiene una circunferencia de centro O. Si el arco AC = 45º y el ángulo BOD = 39º, ¿cuánto mide el ángulo x?

Problema 2
¿Cuánto mide el ángulo x de la figura, interior a un polígono regular de nueve lados?

Problema 3
Se prolongan dos lados de un polígono regular de nueve lados como se indica en la figura. ¿Cuánto mide el ángulo P?

Soluciones.

Geometría (4) Ángulos en la circunferencia

Foto: Adrián Santos López.
Del Concurso de Primavera de Matemáticas 1ª Fase (varios años)
Los problemas que se proponen a continuación son muy sencillos. Para resolverlos basta con saber:
Ángulo central: es cualquier ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia. (Todo ángulo central está determinado por dos radios). La medida de un ángulo central es la de su arco correspondiente.
Ángulo inscrito: es el que tiene su vértice en un punto de la circunferencia, siendo sus lados secantes o tangentes a ella.
Propiedad de los ángulos inscritos: Todo ángulo inscrito en una circunferencia vale la mitad que el ángulo central correspondiente (el que abarca el mismo arco).

Problema 1
En la siguiente figura se tiene un hexágono regular y un triángulo, inscritos en una circunferencia. Si C es un punto del arco AB, ¿cuánto vale la suma de los ángulos x + y?

Problema 2
En la siguiente figura, ABCD es un cuadrilátero inscrito y AC y BD son sus diagonales. Si el ángulo DAB = 123º y el ángulo ACB = 18º, ¿cuánto mide el ángulo ABD?

Problema 3
En la siguiente figura, AD es un diámetro de la circunferencia de centro O. Si las cuerdas AC y ED son paralelas, AB = BC y el ángulo ABC = 130º, ¿cuánto mide el ángulo ADE?

Soluciones