Foto: Antonio Martínez García (Río Lozoya en Buitrago)
Este problema es una variante del Post 305 de este blog. Puede proponerse a los alumnos del 2º ciclo de Secundaria (14-15 años).
Problema
La recta que pasa por los puntos (0, 5) y (10, 0) es tangente a los círculos, uno con centro en (0, 0) y el otro en el punto (5, 5). ¿Qué área es mayor, la amarilla o la azul? ¿Serán iguales?
Foto: Carmen García Matas (Cívica, Guadalajara).
El problema que sigue puede servir para trabajar con semejanza de triángulos. Es adecuado para los alumnos más jóvenes de Secundaria. (Se recomienda hacerlo sin utilizar procedimientos de Geometría analítica).
Problema
Una circunferencia con centro en el punto C(4, 3) es tangente a la recta que pasa por los puntos A(0, 3) y B(6, 0). ¿Cuál es el área del círculo?
Foto: Carmen Martínez García. (Estación de Canfranc, Huesca)
El problema que sigue puede proponerse a los alumnos del 2º ciclo de Secundaria (14-15 años).
Problema
La circunferencia grande tiene radio 3. Las circunferencias pequeñas son tangentes entre ellas y a la grande. ¿Cuál es el área de cada una de las regiones coloreadas?
Foto: José María Martínez García (Universidad de Glasgow)
El problema que sigue se ha obtenido de los propuestos en la IX Olimpiada Matemática Española: http://www.olimpiadamatematica.es/platea.pntic.mec.es/_csanchez/olimp_1963-2004/OME2004.pdf
Como muchos de los problemas de construcción con regla y compás la solución no es sencilla, … hasta que se ve.
Puede plantearse a los alumnos de Bachillerato con interés por la Geometría.
Problema
Dadas dos rectas paralelas y un punto P entre ellas, determinar un triángulo equilátero que tenga por vértice el punto P, y los otros dos, uno sobre cada una de las rectas.
(Plantea también la solución en el caso de que el punto P esté encima de r).
Foto: José L. Quintero (Monte Saint-Michel)
El problema que sigue es relativamente sencillo. Solo exige conocer el teorema de Pitágoras y saber operar con radicales. Puede proponerse a los alumnos de Secundaria de 3º de ESO (14-15 años).
Problema
Un triángulo equilátero de lado 1 se gira respecto de su centro un ángulo de 90º. Halla el área de la parte común del triángulo dado y del obtenido en ese giro.
Foto: Carmen García Matas
El problema que sigue es una adaptación (algo más sencilla) del Problema 3 propuesto en la LV Olimpiada Matemática Española.
Para su resolución hay que establecer relaciones de semejanza de triángulos y utilizar la noción de punto simétrico respecto de una recta.
Puede proponerse a los alumnos de Secundaria de 2º de ESO (14-15 años).
Problema
Sea ABC un triángulo equilátero de lado 6. Desde el vértice A se lanza un rayo de luz que rebota en el punto D de CB e incide en el punto medio E del lado AB. Se pide:
1. El área del triángulo ADE.
2. Hallar, con regla y compás, el punto D en el que rebota el rayo de luz.
Foto: Cristina Martínez García (Pirineos de Huesca)
El problema que sigue es uno de los resultados (teoremas) clásicos de Geometría. Su demostración está en muchos sitios, basta con buscar en Internet: “recta de Euler de un triángulo”. Al proponerlo aquí busco que los alumnos y profesores se planteen cómo demostrarlo por su cuenta, pues creo que es un reto interesante.
Daré una pista: Considera el baricentro G y el circuncentro O; la recta que pasa por G y O corta a una de las alturas en un punto H´. Demuestra que ese punto es el ortocentro H.
Problema
Demostrar que, en todo triángulo, el baricentro G, el circuncentro O y el ortocentro H están alineados. Además, HG = 2 · GO.
