Geometría (288). CON REGLA Y COMPÁS

Foto: Pilar Martínez Mediano (Laguna del Campillo, Rivas Vaciamadrd)

Este problema se ha obtenido de los materiales facilitados por la Real Sociedad Matemática Española para la preparación de las olimpiadas matemáticas:
http://www.olimpiadamatematica.es/platea.pntic.mec.es/_csanchez/olimpmat.htm.

Pienso que no es un problema sencillo; al menos no es inmediato, pues hay que ver el método. Podría proponerse a los alumnos mayores de Secundaria (a partir de 16 años) que sean aficionados a la Geometría.

Problema
Dado un triángulo ABC, determinar un punto P tal que los ángulos PAB, PBC y PCA sean iguales.

Solución.

Geometría (287). Lugar geométrico

Foto: José María Martínez García (un lugar de Ibiza)

Este problema se ha obtenido de los materiales facilitados por la Real Sociedad Matemática Española para la preparación de las olimpiadas matemáticas:
http://www.olimpiadamatematica.es/platea.pntic.mec.es/_csanchez/olimpmat.htm.

Su solución es inmediata cuando se ve. Podría proponerse a los alumnos mayores de Secundaria (a partir de 16 años) que sean aficionados a la Geometría.

Problema
En una circunferencia se dan dos puntos fijos A y B y otro variable M. Sobre la recta AM y fuera de la circunferencia, se toma un punto N tal que MN = MB. Hallar el lugar geométrico de N.

Solución.

Geometría (286). Ángulos

Foto: Carmen García Matas (El Pilar, Zaragoza)

El problema que sigue puede proponerse a los alumnos más jóvenes de Secundaria. Para resolverlo solo es preciso conocer:
- que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a 180º;
- el radio correspondiente al punto de tangencia de una recta con una circunferencia es perpendicular a dicha recta.

Problema
Las rectas r, s, p y q son tangentes a la circunferencia dada; r y s forman un ángulo de amplitud x.
Si A, B, C y D son los puntos de corte de p y q con r y s, respectivamente, halla, en función de x, el valor de los ángulos y y z. ¿En qué caso y = z?

Solución.

Geometría (285). Radio

Foto: Antonio Martínez García (Cuenca, ayer)

El problema que sigue se propuso en la

17ª OLIMPIADA MATEMÁTICA de EUSKADI (Dirigida al alumnado de 2º de E.S.O.):
http://www.berritzegunenagusia.eus/mateolinpiada/markoa_c.htm

Problema
El lado del cuadrado y del triángulo equilátero miden 1. Determina el centro de la circunferencia y la medida de su radio.

Solución.

Geometría (284). Círculo (área)

Foto: Julia Goicoechea Luna (Toledo)

El problema que sigue es relativamente fácil; puede plantearse a estudiantes de Segundo Ciclo de ESO.

Problema
Halla el área del círculo inscrito con los datos que se indican.
El cuadrilátero tiene un ángulo de 90º; el arco QP abarca 210º; AQ = 3 cm.

Solución.

Geometría (283). Radios

Foto: Catalina Martínez García (El Algarve, Portugal)

El problema que sigue es relativamente fácil, aunque requiere cierta destreza en los cálculos.
Puede plantearse a estudiantes de Segundo Ciclo de ESO (a partir de 14 años), con el objetivo de que profundicen en el teorema de Pitágoras.

Problema
El rectángulo de la figura tiene base 2 y altura 1. Los círculos sombreados son tangentes entre sí y tangentes a los cuadrantes y al rectángulo. Halla los radios de cada uno de ellos.

Solución.

Geometría (282). Demostración

Foto: Cristina Martínez García (Castillo de Loarre, Huesca)

Este problema se propuso en la Fase Local de la XLIII Olimpiada Matemática Española:
https://www.ucm.es/data/cont/media/www/pag-81203/XLIII_Madrid_2006_2.pdf

Puede plantearse a estudiantes de Segundo Ciclo de ESO (a partir de 14 años; y que sean aficionados a la Geometría), con el objetivo de que profundicen en los puntos notables de un triángulo.

Problema
Demostrar que, en un triángulo, la distancia de un vértice cualquiera al ortocentro (O1) es el doble de la distancia del circuncentro (O2) al lado opuesto a ese vértice.

Solución.

Geometría (281). Lugar geométrico

Foto: José María Martínez García (Inglaterra, Lake District)

Este problema se ha obtenido de los materiales facilitados por la Real Sociedad Matemática Española para la preparación de las olimpiadas matemáticas:
http://www.olimpiadamatematica.es/platea.pntic.mec.es/_csanchez/olimpmat.htm.

Pienso que no es un problema sencillo; quizás podría proponerse a los alumnos mayores de Secundaria (a partir de 16 años) que sean aficionados a la Geometría.

Problema
Hallar el lugar geométrico de los ortocentros de los triángulos con un lado fijo y ángulo opuesto constante.

Solución.