Geometría (264). Triangulación (11)

Foto: Carmen García Matas (Alcalá de Henares)

En este post, penúltimo de la serie, se trata de estudiar las posibles particiones de un triángulo rectángulo ABC en cuatro triángulos isósceles cuando los puntos D, E y F se toman cada uno en un lado del triángulo, situando el vértice singular (2) en el ángulo recto C.
Hay 4 soluciones distintas.
(El estudio completo del problema está disponible en esta web).

Problema
Calcula los valores que puede tomar el ángulo A para que la partición del triángulo rectángulo ABC en cuatro triángulos isósceles, tal y como se muestra en la figura que sigue, sea posible. Observa que los ángulos singulares (2) y (4) se sitúan en C (ángulo recto) y E (punto del cateto AC), respectivamente; además, el punto A es vértice de dos de esos triángulos isósceles, de AED y de ADF.
Indica cómo podría dibujarse cada partición utilizando regla y compás.

Solución.

Geometría (263). En un trapecio...

Foto: Caty Martínez García (Hondarribia, Guipúzcoa)

El problema que se plantea a continuación no es difícil. Para su solución hay que conocer dos propiedades usuales en Geometría, el teorema de Pitágoras y que la hipotenusa del triángulo es el diámetro de la circunferencia circunscrita a él. Podía plantearse a estudiantes de 14 o 15 años que sean aficionados a estas cuestiones.

Problema
Un trapecio isósceles de bases 10 y 6 tiene altura 12. Se pide:
a) Utilizando regla y compas, halla todos los puntos P, situados en el eje de simetría del trapecio, que son vértices de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas son los lados del trapecio.
b) Utilizando herramientas algebraicas, halla la distancia de P a cada una de las bases cuando la hipotenusa de esos triángulos rectángulos es uno de los lados oblicuos.

Solución.

Geometría (262). Triangulación (10)

Foto: José María Martínez García (Chester, Inglaterra).

Este post puede entenderse como una introducción a las Particiones de Tipo IV, que estudian las posibles soluciones de partición de un triángulo rectángulo ABC en cuatro triángulos isósceles cuando los puntos D, E y F se toman cada uno en un lado del triángulo.
(El estudio completo del problema está disponible en esta web).

Problema
Demuestra que la partición del triángulo rectángulo ABC en cuatro triángulos isósceles, tal y como se muestra en la figura que sigue, es posible para cualquier valor del ángulo x. (Los triángulos DBF, CDF, ECF y AEF son isósceles en D, D, E y E, respectivamente).
Indica cómo podría dibujarse la partición utilizando regla y compás.

Solución.

Navidad 2021

Foto: Siân Williams (St. Ann´s, Manchester).

En Belén nace la esperanza.
Con ella caminaremos alegres.

Feliz Navidad

Geometría (261). Cociente de áreas

Foto: Carmen Martínez García (Loarre, Huesca)

Problemas propuestos en el Concurso de Primavera 2020. (Nivel IV, Bachillerato).
https://www.concursoprimavera.es/#concurso

Se trata de un problema relativamente sencillo que puede abordarse utilizando técnicas de dibujo lineal. Aunque se propuso a los alumnos de Bachillerato también lo pueden resolver alumnos más jóvenes.

Problema
En la siguiente figura, el lado de los triángulos equiláteros es doble del lado el hexágono regular central. ¿Cuánto vale el cociente entre el área sombreada y el área en blanco?

Solución.

Geometría (260). Triangulación (9)

Foto: Antonio Martínez García, Berlín

Este post se dedica a las Particiones de Tipo III (b).
(El estudio completo del problema está disponible en esta web).

En estos casos se imponen las siguientes condiciones:
1) El vértice singular (1) = 90º: el primer triángulo isósceles es rectángulo con vértice singular en C.
2) El punto D está en la hipotenusa; los puntos E y F sobre el cateto AC.
Por tanto, se forman los triángulos BCE, DBE, DEF y ADF.

Pueden presentarse 27 casos, que se obtienen al ir variando la posición de los vértices singulares (2), (3) y (4), cada uno de ellos con tres opciones posibles. Sus referencias van desde T190 a T216.
Aquí se plantean solo 9 de esos casos, cuando los triángulos BCE y DBE son isósceles en C y B, respectivamente.
Con la expresión “vértice singular” designo el ángulo desigual de cada triángulo isósceles, el vértice del que parten sus dos lados iguales. Esos ángulos los denotaré con números: (1), (2), (3) y (4); los demás ángulos se indican con las letras griegas alfa, beta, gamma y delta, respectivamente.

Problema
Demuestra que la partición del triángulo rectángulo ABC en cuatro triángulos isósceles, tal y como se muestra en la figura que sigue (aunque el dibujo está mal hecho), es posible para dos valores distintos del ángulo x. (Los triángulos BCE y DBE son isósceles en C y B, respectivamente; en los otros dos triángulos debes determinar la posición del ángulo singular).
Indica cómo podría dibujarse la partición utilizando regla y compás.

Solución.

Geometría (259). Construir...

Foto: Cristina Martínez García (Alarilla, Guadalajara)

El problema que se plantea a continuación no es sencillo, pues, aunque no requiere conocimientos especiales de Geometría, es preciso manejar con cierta soltura los conceptos de mediana y altura de un triángulo, y saber deducir relaciones geométricas de ambos conceptos.

Puede ser un reto interesante para profesores y estudiantes de Matemáticas.

Problema
Construye un triángulo ABC conociendo las alturas hA y hB, desde A y B, y la mediana mA desde el vértice A. (En la figura se ha dibujado ABC para hA = 4, hB = 3,6 y mA = 5).

Solución.

Geometría (258). Triangulación (8)

Foto: Caty Martínez García.

Primera entrada sobre las Particiones de Tipo III. En todos los casos el vértice singular (1) = 90º. Esto es, el primer triángulo isósceles es rectángulo con vértice singular en C.
Los nuevos vértices, puntos D, E y F, se elegirán en la hipotenusa AB y sobre el cateto AC.
Como ya se ha indicado el estudio completo del problema está disponible en esta web.

Este post se dedica a las Particiones de Tipo III (a): Se toman los puntos D y F en la hipotenusa; el tercer punto, E, se coloca sobre el cateto AC. Así se forman los triángulos: BCE, DBE, DEF y AFE.

Como viene siendo habitual, con la expresión “vértice singular” designo el ángulo desigual de cada triángulo isósceles, el vértice del que parten sus dos lados iguales. Esos ángulos los denotaré con números (1), (2), (3) y (4). Los demás ángulos se indican con letras griegas alfa, beta, gamma y delta, respectivamente.

Problema
Demuestra que la partición del triángulo rectángulo ABC en cuatro triángulos isósceles, tal y como se muestra en la figura que sigue (aunque el dibujo está mal hecho), es posible para tres valores distintos del ángulo x. (Los triángulos BCE y DBE son isósceles en C y D, respectivamente; en los otros dos triángulos debes determinar la posición del ángulo singular).
Indica cómo podría dibujarse la partición utilizando regla y compás.

Solución.