Foto: Carmen Martínez García (Tenerife)
En este post propongo una conocida paradoja geométrica. Si se observan las dos figuras de abajo surge una contradicción visual. Al recolocar las piezas, en la segunda figura sobra un cuadro. Naturalmente, la vista nos engaña.
Problema
Si se recolocan las cuatro piezas coloreadas parece que se gana (¿o pierde?) un cuadro.
Da una explicación matemática de esta paradoja.
Foto: José María Martínez García, St. Paul, Minesota
El problema que se propone a continuación no es difícil, pero puede resultar engorroso. Puede hacerse de varias maneras. Para obtener los datos necesarios hay que saber hallar los ángulos de un polígono regular; también se necesita aplicar Pitágoras en diferentes ocasiones. Por último, no viene mal saber algo de trigonometría.
Podría plantearse a los alumnos de bachillerato.
Problema
Para la decoración navideña un ayuntamiento desea colocar estrellas luminosas como la que se muestra en la figura. Estas estrellas están inscritas en un dodecágono regular de 1 metro de lado, y sus lados son simétricos 3 a 3 de los lados del dodecágono usando como ejes de simetría los lados del cuadrado punteado. ¿Cuál es la superficie de la estrella?
Foto: Carmen García Matas. (Tenerife)
El problema que se plantea a continuación no es difícil, pero hay que “verlo”. Hay que salir del trapecio y descubrir otra cosa. Sirva de pista que en algún momento hay que aplicar Tales.
Podría plantearse a los alumnos aficionados a la Geometría, desde 3º de ESO en adelante.
Problema
En el trapecio ABCD la suma de los ángulos de la base es igual a 90º. Demuestra que el segmento que une los puntos medios de las bases es igual a la mitad de la diferencia de las longitudes de esas bases.
Dibujo: Antonio Martínez García
El problema que sigue requiere conocer el significado del coseno de un ángulo. También hay que saber encontrar triángulos semejantes y aplicar Tales.
Podría plantearse a los alumnos de 4º de ESO en adelante.
Problema
Demuestra que la diagonal de un pentágono regular de lado 1 vale el número áureo. Con ese dato, halla el valor del coseno del ángulo sombreado.
Foto: Cristina Martínez García (Tenerife)
El problema que sigue es bastante sencillo. Puede proponerse a los alumnos de Secundaria de cualquier nivel. Hay que conocer los teoremas de Tales y de Pitágoras; y la fórmula del área de un triángulo.
Problema
Los triángulos ABC y ABD, representados en la figura, son rectángulos en A y D, respectivamente. Si se conocen las medidas de los lados AC = 15 cm, AD = 16 cm y DB = 12 cm, ¿cuánto valdrá el área de cada uno de los 5 triángulos dibujados?
Foto: Catalina Martínez García, Salamanca
Problema propuesto en XXIII CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÉTICAS (1ª Fase, Nivel IV, Bachillerato).
https://www.concursoprimavera.es/resources/downloads/cwVYVKfesZ8nUrKH/problemas-2019-fase1-nivel4.pdf
Es un problema sencillo. Puede proponerse a los alumnos de Secundaria de cualquier curso. Hay que conocer los teoremas de Tales y de Pitágoras; aunque podría hacerse aplicando solo Tales.
Problema
En el interior de un triángulo ABC de catetos 3 y 4 se elige un punto D que dista 1 de cada uno de los catetos. Por D se trazan paralelas a los tres lados que cortan a los lados en los puntos señalados en la figura. ¿Cuánto vale la suma de los segmentos PQ + RS?
Foto: Carmen Martínez García (Tenerife, el Teide)
Problema extraído del libro “Problemas de Matemáticas Elementales”, V. B. Lidski y otros, Editorial Mir 1978.
No es un problema sencillo. Para resolverlo hay que utilizar la noción de arco capaz: el lugar geométrico de los puntos desde los que se ve un segmento con el mismo ángulo. Además, debe ordenarse bien el proceso, pues puede resultar engorroso. Por último, hay que tener una cierta sencilla inspiración. No obstante, como suele pasar en Geometría, una vez resuelto es sencillo de entender.
Puede proponerse a los alumnos aficionados a la Geometría; quizá, a partir de 4º de ESO.
Problema
Sobre los lados del triángulo ABC se han construido (hacía afuera) triángulos equiláteros ABC´, BCA´ y CAB´. Demostrar que las rectas AA´, BB´ y CC´ se cortan en el mismo punto.
