Geometría (206). Áreas en hexágono

Foto: Juan Luís Cordero; por tierras de Extremadura (Malpartida, Cáceres)
En tiempos de coronavirus no estás solo. Además, la primavera siempre llega.

Vuelvo a plantear un problema fácil, recomendable para los alumnos más jóvenes. Puede considerarse una variante del post Geometría (202) propuesto hace 4 semanas. Como allí, se sugerirá una partición del hexágono en triángulos.
En el problema se hacen dos preguntas. La primera se puede resolver dibujando; para la segunda hay que plantear y resolver una ecuación de segundo grado.

Problema
a) Si el área del hexágono regular mide 100 unidades cuadradas, cuánto valdrá el área de cad una de las regiones sombreadas (suma por colores).
b) ¿Cuánto debe valer el lado del hexágono para que su área sea 100?

Solución.

Geometría (205). Con regla y compás

Foto: Cristina Martínez García; en Daganzo, mayo 2020 (En tiempos de coronavirus no estás solo)

Problema obtenido del libro “Problemas de Matemáticas Elementales”, V. B. Lidski y otros, Editorial Mir 1978.

Se trata de un problema clásico, de los de regla y compás. Pienso que no es un problema fácil, … hasta que se resuelve, que entonces resulta evidente; esto significa que para resolverlo hay que dar con una buena idea, y eso no es inmediato. La dificultad es sobradamente compensada con la satisfacción que produce encontrar la solución.

Esa idea tiene que ver con la propiedad de las tangentes a una circunferencia, que ahora formulo como sigue: “La bisectriz del ángulo que determinan las tangentes comunes a una circunferencia, desde un punto P, es la recta PO, siendo O el centro de la circunferencia”. (Esto es así porque las tangentes comunes a una circunferencia cumplen que la distancia a los puntos de tangencia, desde el punto del que se trazan, es la misma).

Podría proponerse a alumnos de bachillerato.

Problema
Se tiene una recta CD y dos puntos A y B no pertenecientes a ella. Hallar en la recta un punto M de modo que el ángulo AMC sea el doble que el ángulo BMD.
Observación: Los puntos A y B pueden estar en el mismo lado de la recta, como en el dibujo, o cada uno a un lado de ella. Si están en lados distintos puede resultar más fácil; comienza por ese caso).

Solución.

Geometría (204). Trozos

Foto: Sìân Williams, Minneapolis. (En tiempos de coronavirus no estás solo)

El problema que sigue es sencillo. Puede proponerse a alumnos de 2º de ESO en adelante.

Para resolverlo hay que conocer las fórmulas de las áreas de figuras planas; y algo de proporcionalidad (Tales).

Problema
El cuadrado ABCD de la figura tiene lado 10. Si se corta siguiendo las líneas que se indican se obtienen siete trozos. ¿Cuál es el área de cada uno de los trozos?

Solución.

Geometría (203). Áreas en pentágono

Foto: Cristina Martínez garcía, Roma (En tiempos de coronavirus no estás solo)

Este post puede considerarse como una continuidad de Geometría (202). He cambiado el hexágono por un pentágono. Quizás sea un poco más difícil, pues hay que determinar alguna relación no inmediata.

El problema tiene el interés añadido de que en él aparece la proporción áurea. Si el lector no está familiarizado con esta relación, le sugiero que investigue por su cuenta: puede descubrir un “mundo” de coincidencias.

Para resolverlo hay que conocer el teorema de Tales (semejanza de triángulos: razón de longitudes y razón de áreas). También exige operar con radicales, aunque podría sustituirse operando con calculadora. Esto determina que debería proponerse a los alumnos de 3º de ESO en adelante.

Problema
Los tres pentágonos que aparecen en la figura son regulares; los vértices del pentágono intermedio son los puntos medios de los lados del grande. ¿Qué porcentaje del área del pentágono mayor corresponde a cada uno de los otros dos? (Puede aproximarse con dos decimales).

Solución.

Geometría (202). Áreas

Foto: Antonio Martínez Garcia, Tenerife (La Candelaria) . En tiempos de cornavirus no estás solo.

Las cuestiones que se plantean en el problema que sigue se han obtenido del XXII Concurso de Primavera de Matemáticas.

Son fáciles y pueden proponerse a los alumnos de cualquier nivel de Enseñanza Secundaria. Hay que conocer el teorema de Pitágoras, y poco más.

Problema
Los puntos marcados en los siguientes hexágonos regulares son vértices o puntos medios de sus lados; en los casos (1) y (2) las demás líneas son paralelas a alguno de los lados. Deduce para cada caso la fracción de área del hexágono que representa la zona sombreada.

Solución.

Geometría (201). Demostración

Foto: Carmen Martínez García. Zaragoza, basílica del Pilar. (En tiempos de coronavirus no estás solo).

Este problema se ha obtenido del libro “Problemas de Matemáticas Elementales”, V. B. Lidski y otros, Editorial Mir 1978. (En ese libro hay una buena colección de problemas de Geometría de dificultad muy dispar; alguno de ellos se ha propuesto ya en este blog, procurando adaptarlos a los conocimientos de los estudiantes de secundaria).
Creo que es un problema fácil; para su resolución solo es necesario utilizar una propiedad de las tangentes a una circunferencia, y, por supuesto, conocer qué son las circunferencias inscrita y circunscrita a un triángulo.
Podría recomendarse a los alumnos de 3º de ESO en adelante.

Problema
Demuestra que en todo triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la suma de los diámetros de las circunferencias inscrita y circunscrita.

Solución.

Geometría (200). Lugar geométrico

Foto: Vatican News, 27/03/2020. En tiempos de coronavirus no estamos solos.

Otro problema obtenido de los materiales facilitados por la Real Sociedad Matemática Española para la preparación de las olimpiadas matemáticas: http://www.olimpiadamatematica.es/platea.pntic.mec.es/_csanchez/olimpmat.htm.

Para su resolución puede utilizarse el teorema de Pitágoras generalizado (teorema del coseno). También hay que conocer el concepto de media proporcional de magnitudes.   
Recomendable para los alumnos de bachillerato.

Problema
Siendo M el punto medio de un segmento de extremos A y B, estudia el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que PM sea media proporcional entre PA y PB.

Solución.

Geometría (199). Bisectriz

Foto: José María Martinez Garcia; Guadalupe, México.

Del XXI CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS 1ª FASE (Bachillerato)
https://www.concursoprimavera.es/resources/downloads/GvKdMHbhlP3p4yB4/problemas-2017-fase1-nivel4.pdf

Es un problema relativamente sencillo. Para su resolución basta con aplicar el teorema de Pitágoras y otras cuestiones básicas de Geometría. Por tanto, puede recomendarse a los alumnos de 2º de ESO en adelante.

Los alumnos de bachillerato también pueden hacerlo aplicando trigonometría.

Problema
En un triángulo rectángulo la bisectriz de un ángulo agudo corta al cateto opuesto en dos trozos de longitudes 1 y 2. ¿Cuál es la longitud del segmento de bisectriz interior al triángulo?

Solución.