Geometría (189). En un triángulo rectángulo

Foto: Pablo de la Peña Aguilera. El Teide

Propongo otro ejercicio encontrado en las viejas fotocopias de las que ya hablé en algún post anterior. El ejercicio tiene tres partes con dificultad creciente, aunque pueden resolverse sin apenas aparato matemático: suma de los ángulos de un triángulo; propiedades de los triángulos isósceles; alguna aplicación de Tales; …No obstante, la tercera requiere cierta habilidad.
Puede proponerse a estudiantes de 3º de ESO en adelante.

Problema
Se da un triángulo ABC, rectángulo en A y de altura AH. Desde H se trazan perpendiculares, HE y HD, sobre los lados AB y AC, respectivamente. Se pide:
a)    Demostrar que DE = AH.
b)   Si M es el punto medio de BC, demostrar que AM es perpendicular a DE.
c)    Si H´ es el punto medio de AB, y BX es paralela a DE, entonces, las rectas BX, MH´ y AH se encuentran en un mismo punto; y AM, HD y BX también se cortan en un mismo punto.

Solución.

Geometría (188). Triángulo en triángulo

Foto: Carmen García Matas (Recópolis, Guadalajara)

El problema que se plantea a continuación permite trabajar con los ángulos en un triángulo, con sus bisectrices y alturas; y, como es habitual, con Tales y Pitágoras.
Es un problema sencillo que puede proponerse a partir de 2º de ESO.

Problema
Cada uno de los vértices de un triángulo equilátero, ABC, se traslada sobre su lado izquierdo una longitud igual a un tercio del lado. Si los puntos son, respectivamente, A´, B´ y C´, entonces:
1) Demostrar que el triángulo A´B´C´ también es equilátero;
2) Comprobar que cada lado de A´B´C´ es perpendicular a uno de los lados de ABC;
3) Hallar la razón entre los perímetros y las áreas de ambos triángulos.

Solución.

Geometría (187). Bisectriz

Foto: Caty Martínez García, Oporto

El problema que se plantea a continuación permite trabajar con las rectas notable de un  triángulo. Puede servir para afianzar las propiedades de las medianas, de las bisectrices y de las alturas.
Es un problema sencillo que puede proponerse a partir de 2º de ESO.

Problema
Demuestra que, en un triángulo rectángulo, la bisectriz del ángulo rectángulo es también bisectriz del ángulo que forman la mediana y la altura que parten del vértice del ángulo recto.

Solución.

Geometría (186). Medianas (aplicación 2)

Foto: Carmen Martínez García (Tenerife)

Los problemas propuestos en los posts 183, 184 y este que sigue, los he descubierto en unas viejas fotocopias de algún libro que lleva por nombre GEOMETRÍA PLANA. Lamento no poder citar ni autor ni editorial, pues solo tengo tres hojas sueltas fotocopiadas, en las que aparecen numerosos EJERCICIOS propuestos. (Tengo que decir también que los enunciados no son textuales: hago algunas adaptaciones para los lectores de hoy; además, como es habitual, añado una figura que no aparece en el enunciado).
El ejercicio que se plantea a continuación puede proponerse a estudiantes de 3º de ESO en adelante. Para resolverlo hay que conocer lo que son las medianas de un triángulo, la propiedad que cumple el baricentro y el teorema de Tales.

Problema
Se considera un triángulo cualquiera y una recta exterior*. Demostrar que la suma de las distancias de los tres vértices a esa recta es igual a tres veces la distancia del baricentro a la recta.

Solución.

Geometría (185). Medianas (aplicación)

Foto: Cristina Martínez García (Lisboa)

Problema propuesto en el XXII Concurso de Primavera de Matemáticas (2ª Fase, Nivel IV, Bachillerato).
https://www.concursoprimavera.es/resources/downloads/4LJeSx42TkPfwNlI/problemas-2018-fase2-nivel4.pdf

Es un problema sencillo. Para resolverlo hay que conocer qué son las medianas de un triángulo y qué propiedad cumple el baricentro (punto de corte de las medianas).
Puede proponerse a partir de 2º de ESO.

Problema
Dos de las medianas de un triángulo son perpendiculares y miden 8 y 12 cm. calcular el área del triángulo.

Solución.

Geometría (184). Medianas (Otra propiedad)

Fotos: Antonio Martínez García

Este problema puede tratarse como una ampliación del anterior, aunque creo que es más ingenioso.
Aquí debe conocerse la propiedad del baricentro (punto de corte de las medianas) y, además, utilizar Tales.
Puede proponerse a los alumnos de 3º y 4º de ESO.

Problema
Demostrar que la suma de las longitudes de las tres medianas de un triángulo es mayor que las tres cuartas partes del perímetro de ese triángulo.

Solución.

Geometría (183). Medianas (Una propiedad)

Foto: Caty Martínez García, Oporto

Para resolver el problema que sigue hay que saber qué es la mediana de un triángulo y aplicar la desigualdad triangular; y poco más.
Puede proponerse a los alumnos de 3º y 4º de ESO.

Problema
Demostrar que la suma de las longitudes de las tres medianas de un triángulo está comprendida entre el perímetro y el semiperímetro de ese triángulo.

Solución.

Geometría (182). Rectángulo

Foto: Antonio Martínez García, Núremberg

El problema que se plantea a continuación se propuso en el XXII Concurso de Primavera de Matemáticas Nivel IV, Bachillerato):
https://www.concursoprimavera.es/resources/downloads/dthPAMjhOQPQMKeX/problemas-2018-fase2-nivel4.pdf

Se trata de un problema relativamente fácil que podría resolverse a partir de 3º de ESO; para ello habría que saber algo de triángulos rectángulos; y de semejanza.

Problema
En el rectángulo ABCD de la figura, las rectas r y s, que pasan por los vértices A y C, son perpendiculares a la diagonal BD y la dividen en tres trozos iguales de 1 cm de longitud cada uno. ¿Cuál es el área del rectángulo?

Solución.