Foto: Caty Martínez García, costa Vasca.
Este es el cuarto (y último) post con el mismo problema. Termino proponiendo encontrar la solución analítica para dos circunferencias dadas y un punto, también dado, en una de ellas.
Problema
Dadas las dos circunferencias y el punto A que se indica, halla la ecuación de otra circunferencia que sea tangente común a esas circunferencias y que pase por el punto A. Se trata de encontrar el centro y el radio de la tangente común.
Foto: José María Martínez García (Glacier National Park, USA)
Este es el tercer post con el mismo problema. Ahora propongo obtener la solución a partir de dos lugares geométricos: el centro de la circunferencia pedida será uno de los puntos de corte de una recta con una hipérbola. Encontrar esa recta y esa hipérbola es el reto.
Otra cosa: Los lectores de este blog saben que dibujo utilizando el programa Geogebra; pues bien, al hacer los dibujos he descubierto soluciones no previstas. Las sugiero al final.
(Y los que estén de vacaciones que descansen, pero siempre haciendo algo…).
Problema
Dadas dos circunferencias externas y un punto A en una de ellas, trazar otra circunferencia que sea tangente común a esas circunferencias y que pase por el punto A. Comprobar que el centro de la circunferencia pedida es el punto de corte de una recta que pasa por A y de una hipérbola cuyos focos son los centros de las circunferencias dadas.
Foto: José María Martínez García, Emerald Lake, Canadá.
El profesor Francisco Castro Borreguero se empeña en mejorar la primera solución propuesta sobre el problema que sigue. La primera solución se da en el post anterior Geometría (176).
Problema
Dadas dos circunferencias externas y un punto A en una de ellas, trazar otra circunferencia que sea tangente común a esas circunferencias y que pase por el punto A.
Foto: Cristina Martínez García (Roma, Santa María)
Vuelvo a proponer un problema de los llamados de “regla y compás”.
Como saben los aficionados a la Geometría (entre los que se encuentran los seguidores de este blog) estos problemas suelen presentar enfoques diferentes, que determinan que la solución sea más o menos elegante. Esto lo vamos a ver nuevamente en el problema que sigue, pues daré tres soluciones distintas en los próximos “posts”.
Problema
Dadas dos circunferencias externas y un punto A en una de ellas, trazar otra circunferencia que sea tangente común a esas circunferencias y que pase por el punto A.
Foto: Caty Martínez García, Pórtico de Santa María de los Reyes, Laguardia.
Propongo otro problema de “regla y compás”. Pienso que no es sencillo.
Para resolverlo hay que conocer la propiedad de la tangente a una circunferencia; también hay que ver (buscar) triángulos isósceles. Doy una pista: con vértice en el centro de una circunferencia y lado opuesto cualquier cuerda de ella se construye un triángulo isósceles.
Problema
Dados un punto A de una circunferencia y una recta r, exterior a ella, trazar otra circunferencia que pase por A y que sea tangente común a la circunferencia y a la recta.
Foto: Carmen Martínez García
En las próximas semanas voy a proponer algunos problemas de “regla y compás”; problemas que hay que resolver aplicando relaciones métricas y propiedades geométricas conocidas. Estos problemas no son difíciles cuando están resueltos, aunque pueden resultar agobiantes si no se encuentra la solución que se intuye pero se escapa…
Además, como saben los aficionados a la Geometría, son problemas que suelen presentar soluciones creativas y distintas. Por tanto, ánimo y suerte.
El problema que sigue es el más sencillo. En sus dos primeros apartados puede proponerse a los alumnos de 3º de ESO; el tercer apartado puede resultar más difícil.
Problema
Dadas dos rectas r y s y un punto A de r, trazar una circunferencia que sea tangente común a ambas rectas y que pase por A. Considera los tres casos siguientes:
1) Las rectas r y s son paralelas.
2) Las rectas r y s pueden prolongarse hasta encontrarse en un punto V.
3) Aunque la opción 2) siempre es posible, considera el supuesto en el que no hay espacio físico para que las rectas se corten: el vértice no es accesible; esto es, no hay posibilidad de encontrar V.
Foto: Carmen García Matas (Sigüenza, Guadalajara)
XXIII CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS (NIVEL IV: BACHILLERATO)
https://www.concursoprimavera.es/resources/downloads/CI9k9xf2DVJOcG6S/problemas-2019-fase1-nivel4.pdf
Para resolver este problema hay que conocer las propiedades de las “rectas notables” de un triángulo. También hay que descubrir triángulos semejantes y …
Este problema se propuso a los alumnos de Bachillerato, pero podría resolverse con los conocimientos de 3º de ESO.
Problema
En cierto triángulo, una bisectriz de longitud 7 es perpendicular a una mediana de longitud 8. ¿Cuál es el área del triángulo?
Foto: Carmen Martínez García (Medinaceli, Soria)
XXVI Olimpiada Matemática Provincial de Albacete,
http://scmpm.blogspot.com/p/problemas-de-la-olimpiada-matematica.html
En la Olimpiada Matemática de Albacete se descubre una cuidada colección de problemas, adecuados para los alumnos de Primaria y ESO. Todos los enunciados y soluciones están publicados por el profesor Juan Martínez-Tébar Giménez (la publicación se distribuye de forma gratuita al profesorado de matemáticas de los centros de secundaria de Castilla la Mancha).
En la página web que se indica más arriba pueden descargarse.
El problema que sigue se propuso a los alumnos de 14 a 16 años.
Problema
Observa las figuras y contesta razonadamente a las siguientes preguntas:
a) ¿Qué indican los números 1/4 y 1/2?
b) ¿Cuál es el valor correspondiente a los hexágonos regulares?
