Foto: José María Martínez García (Ribadeo)
Vuelvo a proponer un problema fácil. Puede resolverse con los conocimientos matemáticos de 2º o 3º de ESO.
Problema
Un cuadrado de lado 1 está inscrito en un triángulo equilátero como se muestra en la figura. ¿Cuál es la longitud del lado del triángulo?
Foto: Carmen García Matas (Madrid)
El problema que sigue se propuso a estudiantes de bachillerato en la LIII Olimpiada Matemática Española, en la Fase Local de la Comunidad de Madrid. (Aquí se ha variado la redacción del enunciado): https://www.ucm.es/data/cont/media/www/pag-91362/olimpiada_53.pdf
Aunque la matemática necesaria para su resolución no es complicada (de hecho solo se necesitan los teoremas de Tales y de Pitágoras y la definición de seno de un ángulo), pienso que no es fácil de resolver, pues hay que combinar unas ideas con otras; pero creo que es un reto interesante.
Problema
¿Cuánto vale el ángulo alfa? (La línea curva es una semicircunferencia).
Foto: José María Martínez García (Pasajes)
Abriendo la dirección web de más abajo puede verse una “demostración” de la proposición que sigue: “Si se prolongan en el mismo sentido todos los lados de un polígono convexo, la suma de los ángulos externos es igual a cuatro rectos”. https://plus.google.com/u/0/photos/photo/109680292532001229478/6431665039825779410?icm=false&iso=true
En los gráficos se ve para el caso de un pentágono. Nosotros pedimos una demostración general, para cualquier polígono convexo. No es difícil. Puede plantearse a cualquier alumno de 2º o 3º de ESO.
Problema
Demuéstrese que “Si se prolongan en el mismo sentido todos los lados de un polígono convexo, la suma de los ángulos externos es igual a cuatro rectos”.
Para el pentágono habría que demostrar que la (1) + (2) + (3) + (4) + (5) = 360º
Foto: Caty Martínez García (Daganzo de Arriba)
https://www.concursoprimavera.es/resources/problemas/problemas-2003-fase2-nivel4.pdf
El problema que sigue puede plantearse a estudiantes de bachillerato. Así se hizo en el “Concurso de Primavera de 2003”. Aquí he cambiado ligeramente el enunciado.
No me parece que sea un problema fácil, pero una vez visto el camino la solución sale de manera espontánea.
En la solución expondré dos formas de resolverlo: ambas emplean argumentos trigonométricos. La primera forma me parece la más fácil: aplico el teorema del seno y algo más; la segunda llega a partir de la semejanza de triángulos.
Problema
En la circunferencia de la figura, de centro O y radio 1, BA es tangente en A a la circunferencia. Si BC es bisectriz del ángulo B, ¿cuánto mide OC en función del ángulo tetha? ¿Cuál sería su valor si tetha vale 60º?
Foto: Cristina Martínez García (Lisboa)
Vuelvo a plantear un problema sencillo. Para resolverlo se necesita conocer el teorema de Pitágoras y saber operar con radicales.
Puede proponerse a los alumnos de 3º o de 4º de ESO.
Problema
En el interior de un cuadrado de lado 10 cm se dibujan cinco cuadrados como muestra la figura. ¿Cuánto vale el área sombreada?
Foto: José María Martínez García (Portugalete)
Se plantea otro problema de optimización. Por tanto debe plantearse a los alumnos de 2º de bachillerato. Para su resolución hay que utilizar la geometría elemental, la trigonometría y las condiciones de optimización.
Problema
Halla el punto P, del arco AB, con la condición de que el área del triángulo APC sea máxima. (El punto C es la proyección de P sobre el eje OX).
Foto: Antonio Martínez Garcia (Correos, Madrid)
El problema que sigue es parte del Examen de Admisión a la Universidad UNI (Perú).
Lo he obtenido en https://plus.google.com/u/0/+RUBI%C3%91OS/posts/NugpUohBD8S
Su enunciado es el que se indica en el dibujo.
Viene solucionado en la página web de arriba.
Me parece un trabajo elogiable, pero hay un pequeño detalle que, aunque es cierto, no es evidente. (El autor afirma que puede demostrase, pero no se hace; posiblemente por aligerar el vídeo o porque el público al que va destinado no maneje con soltura la optimación). El detalle consiste en afirmar que la expresión x + 2/x es mínima cuando ambos sumandos son iguales, cosa que no demuestra.
Por mi parte, daré una solución distinta de la indicada en el vídeo, utilizando cuestiones de proporcionalidad, de trigonometría y de optimización.
También me he planteado qué pasaría si en cualquier universidad española se propusiese este problema en la prueba de acceso. (Mejor no contestamos).
Problema
Calcula el valor de x para que el ángulo theta sea máximo.
Foto: José María Martínez García
Los métodos de resolución de problemas suelen ser variados: geométricos, algebraicos, hacia atrás, por inducción,… La elección del método puede ser determinante para encontrar la solución; otras veces indica solamente una preferencia o una limitación (se sabe lo que se sabe), que genera soluciones elegantes, largas, complicadas, sencillas… Lo ideal es utilizar un método que lleve a encontrar una solución elegante y sencilla del problema. Pero, ¿cuál es ese método?, ¿y qué solución es la más sencilla?
El párrafo anterior viene a cuento porque aquí propongo nuevamente el mismo problema del post anterior, pero resolviéndolo por dos procedimientos distintos. Uno aplicando técnicas de optimización clásica, usando derivadas; el otro utilizando una fórmula trigonométrica. Sugiero al lector que haga lo mismo y que se pregunte cuál es la solución que prefiere.
Problema.
Sean los puntos O(0, 0) y A(1, 0). Se considera otro punto P(x, y) en el primer cuadrante de forma que el ángulo OPA mida 60º. Aplicando el cálculo diferencial y la trigonometría, halla el valor del ángulo alfa para que la suma de las longitudes OP + PA sea máxima.
