Geometría (21). Ortocentro y circuncentro

Foto: Cristina Martínez García (Nueva York)

De la Fase Local de la XLIII Olimpiada Matemática Española

Para resolver este problema debes saber las siguientes cuestiones:
1) El ortocentro de un triángulo es el punto de corte de sus alturas.
2) El circuncentro de un triángulo es el punto de corte de sus mediatrices.
3) Dos figuras son semejantes cuando los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a sus correspondientes en la otra. Esto es, el cociente de las longitudes de ambos segmentos es igual a la constante de proporcionalidad

Problema
Demuestra que, en un triángulo, la distancia de un vértice cualquiera al ortocentro es el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto a ese vértice.
(Por ejemplo, para la figura: la distancia de A a O = doble de la distancia de P al lado BC; siendo O el ortocentro y P el circuncentro).
Pista: ¿Puede el punto O ser el circuncentro de otro triángulo?

Solución.

Geometría (20). Perímetros

Foto: Antonio Martínez García (Puente romano sobre el río Canosa, Cantabria)

Los dos problemas que siguen han sido propuestos en la Olimpiada Matemática de Euskadi (años 2013 y 2015, respectivamente). Ambos piden calcular el perímetro de una figura. Son bastante sencillos: pienso que pueden hacerlos estudiantes de 1º de ESO. A los lectores de este Blog les podrá proporcionar unos minutos de entretenimiento formativo.

Problema 1. LOS TRES SEGMENTOS
Un triángulo grande ha sido dividido en cuatro triángulos y tres cuadriláteros, mediante tres segmentos (como se observa en la figura).
La suma de los perímetros de los cuadriláteros es 25 cm.
La suma de los perímetros de los cuatro triángulos es 20 cm.
El perímetro del triángulo grande es 19 cm.
¿Cuál es la suma de las longitudes de los tres segmentos?

Problema 2. TRIÁNGULOS Y HEXÁGONOS
Dos triángulos equiláteros de perímetro 18 cm se sobreponen de modo que sus lados queden paralelos, como se ve en la figura. ¿Cuál es el perímetro del hexágono sombreado?

Soluciones.

Geometría (19). Áreas en cuadrados

Foto: Eva Alonso Botija (Budapest)

Canguromat.net.es: XXII Concurso Canguro Matemático 2015 (1º bachillerato)

En esta “entrada” te propongo dos problemas de áreas. Aunque se han propuesto en un concurso para alumnos de 1º de bachillerato pienso que son muy sencillos: pueden resolverlos alumnos de 2º de ESO en adelante. Los únicos conocimientos que se requieren son las fórmulas de las áreas de las figuras planas y el teorema de Pitágoras. También se necesita un poquito de ingenio, pero eso se da por supuesto en los lectores de este blog.

Problema 1 
En un cuadrado de lado a se traza un semicírculo y dos arcos de cuadrante, tal como se indica en la figura. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

Problema 2
En el  cuadrado ABCD tiene de área 80. Los puntos E, F, G y H están en los lados del cuadrado y son tales que 3 · EB = AE = CG = DH. ¿Cuál es el área de la parte gris?

Soluciones.

Geometría (18). Proporcionalidad en un triángulo

Foto: Catalina Martínez García (Heidelberg, Alemania) 

Canguromat.net.es: XXII Concurso Canguro Matemático 2015 (2º bachillerato)

En esta “entrada” te propongo un problema de áreas. Aunque no se necesita ningún conocimiento especial, aparte de los relacionados con la proporcionalidad (otra vez Tales) y con el cálculo de áreas de figuras planas, pienso que no es un problema sencillo; vamos, que no es inmediato, que hay que dedicarle un rato.

Como podrás comprobar si pinchas en la solución (pero no lo hagas hasta haber intentado dar con tu solución), propongo tres formas diferentes de resolverlo. Esta variedad de soluciones permite vislumbrar las grandes posibilidades que tiene la Geometría para enseñar a pensar a la gente (jóvenes y mayores; alumnos y profesores). La primera solución puede considerarse la directa: la que del sabe lo que tiene que hacer y se lanza a ello. La segunda exige una cierta elaboración del concepto de proporcionalidad, pues pasa de la proporcionalidad en la longitud a la proporcionalidad en la superficie. La tercera es la más sencilla, aunque quizás la menos inmediata.  

Problema
En el triángulo ABC, podemos trazar una recta paralela a la base AC, por el punto X o por el punto Y. Las áreas grises de las regiones resultantes que se ven en la figura son iguales. La razón BX : XA tiene el valor BX : XA = 4 : 1. ¿Cuál es el valor de la razón BY : YA?   

Soluciones.

Geometría (17). Problema de áreas

Foto: Cristina Martínez García (San Vicente de la Barquera, Cantabria)

Canguromat.net.es: XXII Concurso Canguro Matemático 2015 (2º bachillerato)

En esta “entrada” te propongo otro problema de áreas. Aunque no es muy difícil (podría hacerse con los conocimientos de 2º de ESO), para resolverlo se requiere cierta habilidad y algo de paciencia. Una solución se obtiene mediante el cálculo de las áreas de los triángulos que aparecen al descomponer el rectángulo siguiendo el enunciado del problema.
Para conseguirlo necesitas conocer y manejar con soltura:
El concepto de proporcionalidad de longitudes (Tales).
El cálculo de áreas de triángulos.

Problema 1
En el rectángulo ABCD de la figura, M1 es el punto medio de DC; M2 es el punto medio de AM1; M3 es el punto medio de BM2; y M4 es el punto medio de CM3. Halla la razón entre el área del cuadrilátero M1M2M3M4 y la de ABCD.
(Donde pone M1 quiero poner M sub 1; y lo mismo con M2, M3 y M4).

Solución.

Geometría (16). Problemas de cuadrados

Foto: Antonio Martínez García
Comunidad Valenciana. De la fase provincial de la Olimpiada Matemática (2010 y 2005)

En esta “entrada” te propongo dos problemas de cuadrados. Para su resolución sólo se requiere conocer el teorema de Pitágoras, pero, mientras que el primero es casi inmediato, para resolver el segundo es necesario “recolocar” la figura, fragmentarla, buscando triángulos rectángulos adecuados: el segundo problema no es sencillo.
Estos problemas pueden ser apropiados para alumnos de 3º o 4º de ESO.

Problema 1
En la figura se muestra un cuadrado de lado 1. Si el triángulo CMN es un triángulo equilátero que se traza como se indica en la figura, ¿cuánto vale el área de dicho triángulo?

Problema 2
En un cuadrado ABCD de lado desconocido, localizar un punto P que esté a 2 cm del vértice A, a 3 cm del vértice B y a 4 cm del vértice C. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado? ¿Dónde está el punto P?

Soluciones.

Geometría (15). Problema de ángulos

Foto: Carmen Martínez García (Praga)
Del XXIV Concurso de Resolución de problemas “Sociedad Puig Adam”
 

Vuelvo con un problema no sencillo. A mí me ha llevado su resolución varios intentos; además me he quedado con las ganas de dar con una solución “bonita”, en la que no sea preciso el empleo de razones trigonométricas. Estoy convencido de que debe existir esa solución que busco (métrica, de las de regla y compás), pero no he dado con ella. (Si alguno de los lectores de este blog la encuentra, le ruego que me la envíe).
Si te propones resolverlo y no te sale, no te obceques; déjalo para otro rato. Y si después de un par de intentos no se te ocurre nada exitoso mira la solución que doy al final. Comprobarás que es muy sencilla, como casi todas las cosas que se han resuelto.
De cualquier manera, ánimo. Espero que pases un buen rato.
Necesitas conocer:
Las propiedades básicas de los triángulos; en particular de los isósceles.
La razón trigonométrica seno de un ángulo.
El cálculo del área de un triángulo.
El teorema de los senos.

Problema
En el triángulo ABC, D es el punto medio del lado AB y E, que está en BC, verifica BE = 2 · EC. Si el ángulo ADC es igual al ángulo BAE, ¿cuánto mide el ángulo A del triángulo dado?

Observación:
Lo primero que debes hacer es construir un triángulo que cumpla, aproximadamente, las condiciones que indica el problema.

Solución

Geometría (14). Círculos y cuadrados

Foto: Carmen Martínez García (Londres)
Comunidad Valenciana. De la fase provincial de la Olimpiada Matemática (2007 y 2013)

En esta “entrada” te propongo dos problemas en los que intervienen cuadrados y círculos. Se propusieron para alumnos de 3º y 4º de ESO y pueden calificarse de dificultad media para ese nivel. El segundo me parece un poco más difícil que el primero, pero el aparato matemático necesario para su resolución es muy similar: se trata de ver determinadas relaciones métricas entre los lados del cuadrado y los radios de los círculos.

Para su resolución sólo se necesita saber el teorema de Pitágoras; y que la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio correspondiente en el punto de tangencia.

Problema 1
La figura adjunta está formada por dos círculos tangentes iguales, inscritos en un cuadrado. Calcula el área del cuadrado sabiendo que el radio de los dos círculos es de 1 cm.

Problema 2
Calcula el área sombreada de la figura, formada por dos semicírculos inscritos en un cuadrado de lado 4 cm. (los centros de los semicírculos están en una diagonal del cuadrado).

Soluciones.