Geometría (15). Problema de ángulos

Foto: Carmen Martínez García (Praga)
Del XXIV Concurso de Resolución de problemas “Sociedad Puig Adam”
 

Vuelvo con un problema no sencillo. A mí me ha llevado su resolución varios intentos; además me he quedado con las ganas de dar con una solución “bonita”, en la que no sea preciso el empleo de razones trigonométricas. Estoy convencido de que debe existir esa solución que busco (métrica, de las de regla y compás), pero no he dado con ella. (Si alguno de los lectores de este blog la encuentra, le ruego que me la envíe).
Si te propones resolverlo y no te sale, no te obceques; déjalo para otro rato. Y si después de un par de intentos no se te ocurre nada exitoso mira la solución que doy al final. Comprobarás que es muy sencilla, como casi todas las cosas que se han resuelto.
De cualquier manera, ánimo. Espero que pases un buen rato.
Necesitas conocer:
Las propiedades básicas de los triángulos; en particular de los isósceles.
La razón trigonométrica seno de un ángulo.
El cálculo del área de un triángulo.
El teorema de los senos.

Problema
En el triángulo ABC, D es el punto medio del lado AB y E, que está en BC, verifica BE = 2 · EC. Si el ángulo ADC es igual al ángulo BAE, ¿cuánto mide el ángulo A del triángulo dado?

Observación:
Lo primero que debes hacer es construir un triángulo que cumpla, aproximadamente, las condiciones que indica el problema.

Solución

Geometría (14). Círculos y cuadrados

Foto: Carmen Martínez García (Londres)
Comunidad Valenciana. De la fase provincial de la Olimpiada Matemática (2007 y 2013)

En esta “entrada” te propongo dos problemas en los que intervienen cuadrados y círculos. Se propusieron para alumnos de 3º y 4º de ESO y pueden calificarse de dificultad media para ese nivel. El segundo me parece un poco más difícil que el primero, pero el aparato matemático necesario para su resolución es muy similar: se trata de ver determinadas relaciones métricas entre los lados del cuadrado y los radios de los círculos.

Para su resolución sólo se necesita saber el teorema de Pitágoras; y que la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio correspondiente en el punto de tangencia.

Problema 1
La figura adjunta está formada por dos círculos tangentes iguales, inscritos en un cuadrado. Calcula el área del cuadrado sabiendo que el radio de los dos círculos es de 1 cm.

Problema 2
Calcula el área sombreada de la figura, formada por dos semicírculos inscritos en un cuadrado de lado 4 cm. (los centros de los semicírculos están en una diagonal del cuadrado).

Soluciones.

Geometría (13). Medianas de un triángulo

Foto: Carmen Martínez G. (Londres)

El objetivo de este post es que recuerdes (o que aprendas) qué es el baricentro de un triángulo. Es un ejercicio teórico, relativamente sencillo para un estudiante que siga este blog.

Las medianas de un triángulo son las rectas que unen cada vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.
Las tres medianas del triángulo se cortan en el mismo punto. Ese punto recibe el nombre de baricentro.

Con relación al baricentro te propongo dos cosas:

1) Demuestra que dicho punto está a doble distancia del vértice que del punto de corte de la mediana con el lado opuesto. Esto es, si P es el baricentro del triángulo ABC y M, N y Q los puntos medios de los lados opuestos a los vértices A, B y C, respectivamente, entonces la distancia AP es doble que la distancia PM. (Y lo mismo para las demás medianas).
2) De paso demuestra que, efectivamente, las tres medianas se cortan en ese punto.

Sugerencia:
La demostración de estas propiedades es relativamente sencilla; y hay varias formas de hacerlo. Te animo a ello. Para mí, la más intuitiva consiste en comprobar que los seis triángulos pequeños en los que las medianas dividen al triángulo inicial tienen la misma superficie. (Si no lo consigues puedes ver cualquiera de las dos soluciones que indico en la solución).

Solución

Geometría (12). Problemas de ángulos

Foto: Carmen Martínez García (Madrid, Palacio Real)
Comunidad Valenciana. De la fase provincial de la Olimpiada Matemática (2005 y 2011)

En esta “entrada” te propongo dos problemas muy sencillos. Para su resolución sólo necesitas saber las siguientes cuestiones:
La suma de los ángulos de un triángulo vale 180º.
Todos los triángulos inscritos en una semicircunferencia que descansan sobre el diámetro son rectángulos.
La altura de un triángulo equilátero divide al lado sobre el que cae en dos partes iguales.
Si un triángulo tiene dos ángulos iguales, es isósceles.

 Problema 1
Calcula el valor de todos los ángulos de la siguiente figura sabiendo que el ángulo 1 vale 70º.

Problema 2
Dados los siguientes triángulos, ABC y CDE, equiláteros, de lados 1 y 1/2, respectivamente, demuestra que: (a) el triángulo DEG es isósceles y (b) que ACD es rectángulo.

Soluciones

Geometría (11). Circunferencias

Foto: Pablo de la Peña Aguilera
Del XXIV Concurso de Resolución de problemas “Sociedad Puig Adam”

El problema que se propone a continuación no es sencillo, aunque no requiere conocimientos especiales. Basta con saber las cuestiones de geometría que venimos recordando en este blog, pero además hay que tener algo de paciencia, pues lo normal es que no se “vea” a la primera, como pasa con el autillo de la foto.  Si no consigues resolverlo no abras la solución que se da aquí; vuelve a pensarlo otro día… Lo importante es que seas tú el que lo resuelvas.

 Problema
Consideramos una semicircunferencia de centro O y diámetro AB. Dos circunferencias, Kl y K2, tangentes exteriores, son tangentes a la semicircunferencia, y tangentes a su diámetro AB, la primera de ellas precisamente en el punto O. Si AB = 8, determina el radio r de la circunferencia K2.

Sugerencia:
A mí me ha ido bien trazar las tangentes exteriores comunes a las circunferencias K1 y K2; después he trazado la recta que une sus centros; a continuación he visto que… Y, como tantas veces, aplicar Tales y Pitágoras.

Solución.

Geometría (10). Áreas

Foto: Miguel Quintero (Palacio de Carlos V, Granada) 
Del Concurso de Primavera de Matemáticas. Comunidad de Madrid

Los problemas que siguen pueden proponerse a estudiantes de bachillerato. 
Para su resolución se necesita saber:
1) La definción de seno de un ángulo.
2) El teorema de Pitágoras
3) El teorema del coseno.

Problema 1
Un cuadrado y un triángulo equilátero tienen el mismo perímetro. Si A es el área del circulo circunscrito al cuadrado y B el área del círculo circunscrito al triángulo, ¿cuánto vale el cociente A/B?
Sugerencias: 1. Dibuja las circunferencias circunscritas a cada figura. 2. Calcula el área de cada círculo en función de la longitud del lado de cada polígono inscrito..

Problema 2
El triángulo ABC de lados correspondientes a, b y c tiene un ángulo en A de 120º. Por ello puede obtenerse girando, el triángulo equilátero BCD formado por tres triángulos como el de partida y un triángulo equilátero pequeño interior AEF (tal como se indica en la figura). Halla el área de este triángulo equilátero AEF en función de los lados a, b y c.

Soluciones

Geometría (9). Longitudes y áreas

Foto: Pablo de la Peña Aguilera 
La magnífica foto de Pablo merecería un problema en el que interviniera algún elemento simétrico. No es el caso, aunque algo puede intuirse en el primer problema que sigue. 

Del Concurso de Primavera de Matemáticas. Comunidad de Madrid

Para la resolución de los problemas de este post necesitas saber:
1) La propiedad de la bisectriz de un ángulo: todo punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo.
2) La propiedad de la recta tangente a una circunferencia: es perpendicular al radio correspondiente en el punto de tangencia.
3) El teorema de Pitágoras.
4) El teorema de Tales: semejanza de triángulos.
5) Definición de seno de un ángulo. 

Problema 1
En el triángulo ABC de la figura, el punto D está en el lado CB. Si los ángulos CAD y DAB son ambos de 60º y AC = 3 y AB = 6, ¿cuál es la longitud de AD?

Problema 2
Determina el área del triángulo AHB de la siguiente figura.

Problema 3
Las dos circunferencias de la figura son tangentes exteriores y las rectas PAB y PA’B’ las tangentes comunes a ambas. Si PA = AB = 4, halla el área del círculo pequeño.

Soluciones

Geometría (8). Longitudes;

Foto: Caty Martínez (Granada)
Del Concurso de Primavera de Matemáticas. Comunidad de Madrid

Te propongo otros tres problemas fáciles (en el sentido de que no hay que saber demasiadas cosas de matemáticas para su resolución); aunque los problemas son fáciles solamente cuando se han resuelto. En este caso es posible que el Problema 2 no sea tan sencillo, a mi es el que más me ha costado.
Para la resolución de los problemas de este post necesitas saber:
1) La propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia.
2) El teorema de Pitágoras.
3) El teorema de Tales: semejanza de triángulos.

Problema 1
El segmento AB es diámetro de una circunferencia de radio 1 y lado del triángulo equilátero ABC. Esta circunferencia corta a los lados AC y BC en los puntos D y E, respectivamente. ¿Cuál es la longitud de AE?

Problema 2
En un triángulo de lados 3, 4 y 5 se inscribe un cuadrado como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?

Problema 3
El polígono PQRS de la figura es un cuadrado de lado 12. Si los segmentos PT y MN son perpendiculares y se cortan en un punto X de tal forma que ST = 5 y MX = 4, ¿cuál es la longitud de XN?

Soluciones