Geometría (170). Triángulo

Foto: José María Martínez García (Saint Paul, Minesota)

El problema que sigue se propuso en la XLIX OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA, Comunidad de Madrid, FASE CERO: viernes 23 de noviembre de 2012:
https://www.ucm.es/data/cont/media/www/pag-81213/XLIX_OME_Madrid_1_Sesion.pdf

No es difícil, aunque tampoco resulta inmediato. Hay que utilizar nociones de semejanza, Tales, Pitágoras y la propiedad del baricentro de un triángulo. Puede proponerse a alumnos que tengan ciertos conocimientos de Geometría, y además deseo de superar los pequeños retos que se generan aquí. Estimo que puede proponerse a partir de 3º de ESO.

Problema
La figura adjunta muestra el triángulo equilátero ABC, su circunferencia inscrita y el segmento DE perpendicular al lado AC y tangente a la circunferencia inscrita; el punto D sobre el lado AB y el E sobre el lado AC. Si AE = 1, halla la longitud del lado del triángulo ABC.

Solución.

Geometría (169). Estrella

Foto: María Jesús Zarza (Catedral de Berlín)

El problema que sigue puede proponerse a partir de 2º de ESO: es más sencillo de lo que parece.
Basta con saber deducir la medida de los ángulos que se obtienen al dibujar la estrella (surgen ángulos de 60º y de 90º); también hay que saber halar el área de un hexágono regular.

Problema
Dentro de un dodecaedro regular de lado 2 se ha dibujado la estrella de la figura. ¿Cuánto mide su área?

Solución.

Geometría (168). Cuadrado y triángulo

Foto: Carmen García Matas. (Roma, Panteón)

El problema que se sigue se propuso en la 17ª OLIMPIADA MATEMÁTICA de EUSKADI
(Dirigida al alumnado de 2º de E.S.O.) "EDUARDO CHILLIDA"
http://www.berritzegunenagusia.eus/mateolinpiada/markoa_c.htm

Es un problema sencillo pero interesante. Requiere conocimientos de triángulos: cálculo de su circuncentro; medida de sus ángulos …
Puede plantearse a alumnos 2º de ESO en adelante.

Problema
La figura adjunta representa un cuadrado con un triángulo equilátero adyacente y luego se dibuja la circunferencia circunscrita a ambos. Se pide:
a) Localizar el centro de esa circunferencia, justificando su localización.
b) Calcular el valor de su radio.
Por comodidad de operaciones asignamos el valor unidad al lado del cuadrado y del triángulo.

Solución.

Geometría (167). Tableros

Foto: José María Martínez Garcia, St. Louis (Missouri)

El problema que se sigue se propuso en la XIX OLIMPIADA DE CANTABRIA 2015
http://sociedadmatematicacantabria.es/wp-content/uploads/2015-19_Olimpiada_Matematica.pdf

Se trata de un problema sencillo (se planteó a alumnos de 2º de ESO) que da lugar a un par de ecuaciones. Puede plantearse a un grupo de alumnos de ese nivel para que lo comenten y resuelvan entre ellos.

Problema
Se tiene un rectángulo formado por la unión de 9 tableros de ajedrez de distintos tamaños y no superpuestos, como vemos en la figura. Si el tablero más pequeño es 2 cm × 2 cm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Solución.

Geometría (166). Área

Foto: Antonio Martínez García. Roma, Coliseo.

El problema que se sigue se propuso en la 7ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI 2008-09 OLIMPIADA EDUARDO CHILLIDA 2º curso E.S.O.
http://www.berritzegunenagusia.eus/mateolinpiada/markoa_c.htm

Se planteó a alumnos de 2º de ESO. Es un problema sencillo que permite aplicar cuestiones de descomposición factorial con ecuaciones y áreas.

Problema
Un cuadrado se cubre mediante cuatro rectángulos y un cuadrado cuyos lados son enteros mayores que 1, como lo muestra la figura. Las áreas de dos de los rectángulos están escritas sobre ellos. ¿Cuál es el área del cuadrado pequeño?

Solución.

Geometría (165). Longitud

Foto: Caty Martínez García (Roma, San Pablo)

El problema que se sigue se propuso en el V Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid, en el año 2005:
https://www.ucm.es/sociedadpuigadam/concurso-intercentros-de-la-comunidad-de-madrid

Este problema se planteó a alumnos del segundo ciclo de ESO. Puede resolverse aplicando el teorema de Pitágoras.

Problema
Desde los vértices A y B de un triángulo acutángulo trazamos las dos alturas que determinan con los lados opuestos segmentos de longitudes 5, 3, 2 y x como se muestra en la figura. Calcula x.

Solución.

Geometría (164). Área

Foto: Carmen Martínez García (Vaticano)

El problema que se propone a continuación tiene dos partes. La primera es muy sencilla, puede proponerse a los alumnos de 2º de ESO para arriba. La parte b), aunque también es muy fácil, precisa que se conozca la definición de seno de un ángulo.

Problema
En el triángulo ABC, de área 98 unidades cuadradas, el punto P pertenece a la mediana AM y dista 10 unidades de A y 4 de M. a) ¿Cuánto vale el área de triángulo CPM? b) Si ACM es isósceles, ¿cuánto miden los ángulos del triángulo ACM?

Solución.

Geometría (163). Demostración

Foto: Cristina Martínez García, Roma.

Para hacer la demostración que se propone hay que saber el significado de del circuncentro y del ortocentro de un triángulo; además hay que buscar una situación en la que aparezcan dos triángulos semejantes. Pienso que no es un problema inmediato, aunque no es difícil. Podría proponerse a estudiantes de 4º de ESO en adelante (15 o más años).

Recuérdese que:
El circuncentro es el punto de corte de las mediatrices de un triángulo; es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
El ortocentro es el punto de corte de las alturas de un triángulo.

Problema
Demostrar que en todo triángulo ABC la distancia desde el circuncentro (O) al lado BC es la mitad que la distancia desde el ortocentro (P) hasta el vértice A.

Solución.