Geometría (124). Secantes

Comment

Geometría (124). Secantes

Foto: Adrián Santos (Martín pescador)

El problema que sigue, aunque es relativamente sencillo, puede resultar extraño a los estudiantes de secundaria. Si se dice que está relacionado con la “potencia de un punto a una circunferencia” es posible que a algunos se les despierte el entendimiento.
Dando la pista de que está relacionado con la semejanza de triángulos podría proponerse a los alumnos de 3º de ESO en adelante.

Problema
Dos cuerdas, AB y AC, de una circunferencia se cortan en un punto P, interior a ella. Demuéstrese que los productos AP · PB y CP · PD valen lo mismo. (Demostrar también que las medidas de esos cuatro segmentos no pueden venir dadas por cuatro números consecutivos).

Fig B124.jpg

Comment

Geometría (123) Triángulo

Comment

Geometría (123) Triángulo

Foto: Caty Martínez García (Zumaia)

Problema propuesto en la XXIV Olimpiada Matemática de Albacete (FF. (14/16) Problema 1).
https://app.box.com/s/o53b82zpmqzhoiwejaom

El problema que sigue es relativamente sencillo. Puede proponerse a los alumnos de 3º y 4º de ESO. Requiere la aplicación de la relación de semejanza y del teorema de Pitágoras. Me he permitido resumir el enunciado, que dice lo que sigue:

Problema
Si el lado de cada cuadrado es 1 cm, ¿cuánto mide el área del triángulo ABC?

Fig B123.jpg

Comment

Geometría (122). Entre circunferencias

Comment

Geometría (122). Entre circunferencias

Foto: Antonio Martínez García

Problema propuesto en el XXXIV Concurso “Puig Adam” NIVEL I (3º de E.S.O.) Primera parte
http://www.ucm.es//data/cont/media/www/pag-81199//2016_problemas.pdf

El problema que sigue es de los sencillos. Puede hacerse aplicando el teorema de Pitágoras, pero hay que saber encontrar el triángulo rectángulo al que aplicarlo.
Puede proponerse a los alumnos de 3º y 4º de ESO. Como muchos de ellos serán capaces de resolverlo es posible que se animen con otros más difíciles.

Problema
En la figura siguiente se observan dos circunferencias tangentes interiores y un cuadrado, uno de cuyos lados es tangente a la circunferencia pequeña, estando los vértices opuestos a ese lado en la circunferencia mayor. Si los radios de las circunferencias son 50 cm y 35 cm, calcula la longitud del lado del cuadrado.

Fig B122.jpg

Comment

Geometría (121). Trapecio

Comment

Geometría (121). Trapecio

Foto: José María Martínez García (Segovia)

Problema propuestos en el XXXIV Concurso “Puig Adam” NIVEL I (4º de E.S.O.) Primera parte

Se trata de un problema relativamente sencillo, aunque requiere cierta destreza en la aplicación de las cuestiones de geometría elemental (fórmulas de áreas y aplicación de Tales). Si se acierta con la asignación de las medidas iniciales el problema se simplifica bastante.
Puede plantearse a los alumnos de ESO, desde el 2º curso; y a los de Bachillerato.

Problema
El trapecio ABCD de la figura siguiente verifica que el cociente entre las longitudes de las bases es BC/AD = 5/7. Los puntos E y F están en los lados CD y DA respectivamente y verifican que CE/ED = 2/3, AF/FD = 4/3. Si el área del cuadrilátero ABEF es 123, calcula el área del trapecio.

Fig B121.jpg

Comment

Geometría (120). Perímetro

Comment

Geometría (120). Perímetro

Foto: Caty Martínez García (Venecia)

El Concurso de Primavera que organiza la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid es una fuente casi inagotable de problemas; interesantes en su mayor parte. En este blog se recurre con frecuencia a los de enunciado geométrico. https://www.concursoprimavera.es/#problemas

En este caso se elige uno de los propuestos en el concurso del año 2000: 
https://www.concursoprimavera.es/resources/problemas/problemas-2000-fase2-nivel3.pdf

Se trata de un problema asequible para los alumnos de 2º de ESO en adelante. Basta con conocer el teorema de Pitágoras.

Problema
En el triángulo PQR de la figura, PR = 14 y PQ = 10. La altura sobre el lado QR corta a la prolongación en un punto S tal que SQ = 5. ¿Cuál es el perímetro del triángulo PQR?

Fig B120.jpg

Comment

Geometría (119). Lado del triángulo

Comment

Geometría (119). Lado del triángulo

Foto: José María Martínez García (Ribadeo)

Vuelvo a proponer un problema fácil. Puede resolverse con los conocimientos matemáticos de 2º o 3º de ESO.

Problema
Un cuadrado de lado 1 está inscrito en un triángulo equilátero como se muestra en la figura. ¿Cuál es la longitud del lado del triángulo?

Fig B119.jpg

Comment

Geometría (118). Ángulo

Comment

Geometría (118). Ángulo

Foto: Carmen García Matas (Madrid) 

El problema que sigue se propuso a estudiantes de bachillerato en la LIII Olimpiada Matemática Española, en la Fase Local de la Comunidad de Madrid. (Aquí se ha variado la redacción del enunciado): https://www.ucm.es/data/cont/media/www/pag-91362/olimpiada_53.pdf

Aunque la matemática necesaria para su resolución no es complicada (de hecho solo se necesitan los teoremas de Tales y de Pitágoras y la definición de seno de un ángulo), pienso que no es fácil de resolver, pues hay que combinar unas ideas con otras; pero creo que es un reto interesante.

Problema
¿Cuánto vale el ángulo alfa? (La línea curva es una semicircunferencia).

Fig B118.jpg

Comment

Geometría (117). Ángulos externos

Comment

Geometría (117). Ángulos externos

Foto: José María Martínez García (Pasajes)

Abriendo la dirección web de más abajo puede verse una “demostración” de la proposición que sigue: “Si se prolongan en el mismo sentido todos los lados de un polígono convexo, la suma de los ángulos externos es igual a cuatro rectos”. https://plus.google.com/u/0/photos/photo/109680292532001229478/6431665039825779410?icm=false&iso=true

Fig B117a.jpg

En los gráficos se ve para el caso de un pentágono. Nosotros pedimos una demostración general, para cualquier polígono convexo. No es difícil. Puede plantearse a cualquier alumno de 2º o 3º de ESO.

Problema
Demuéstrese que “Si se prolongan en el mismo sentido todos los lados de un polígono convexo, la suma de los ángulos externos es igual a cuatro rectos”.
Para el pentágono habría que demostrar que la (1) + (2) + (3) + (4) + (5) = 360º

Fig B117.jpg

Comment