Geometría (116). ¿Cuánto mide OC?

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Geometría (116). ¿Cuánto mide OC?

Foto: Caty Martínez García (Daganzo de Arriba)

https://www.concursoprimavera.es/resources/problemas/problemas-2003-fase2-nivel4.pdf

El problema que sigue puede plantearse a estudiantes de bachillerato. Así se hizo en el “Concurso de Primavera de 2003”. Aquí he cambiado ligeramente el enunciado.
No me parece que sea un problema fácil, pero una vez visto el camino la solución sale de manera espontánea.
En la solución expondré dos formas de resolverlo: ambas emplean argumentos trigonométricos. La primera forma me parece la más fácil: aplico el teorema del seno y algo más; la segunda llega a partir de la semejanza de triángulos.

Problema
En la circunferencia de la figura, de centro O y radio 1, BA es tangente en A a la circunferencia. Si BC es bisectriz del ángulo B, ¿cuánto mide OC en función del ángulo tetha? ¿Cuál sería su valor si tetha vale 60º?

Fig B116.jpg

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Geometría (115). Área sombreada

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Geometría (115). Área sombreada

Foto: Cristina Martínez García (Lisboa)

Vuelvo a plantear un problema sencillo. Para resolverlo se necesita conocer el teorema de Pitágoras y saber operar con radicales.
Puede proponerse a los alumnos de 3º o de 4º de ESO.

Problema
En el interior de un cuadrado de lado 10 cm se dibujan cinco cuadrados como muestra la figura. ¿Cuánto vale el área sombreada?

Fig B115.jpg

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Geometría (114). Área máxima

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Geometría (114). Área máxima

Foto: José María Martínez García (Portugalete)

Se plantea otro problema de optimización. Por tanto debe plantearse a los alumnos de 2º de bachillerato. Para su resolución hay que utilizar la geometría elemental, la trigonometría y las condiciones de optimización.

Problema
Halla el punto P, del arco AB, con la condición de que el área del triángulo APC sea máxima. (El punto C es la proyección de P sobre el eje OX).

Fig B114.jpg

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Geometría (113). Ángulo máximo

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Geometría (113). Ángulo máximo

Foto: Antonio Martínez Garcia (Correos, Madrid)

El problema que sigue es parte del Examen de Admisión a la Universidad UNI (Perú).
Lo he obtenido en https://plus.google.com/u/0/+RUBI%C3%91OS/posts/NugpUohBD8S
Su enunciado es el que se indica en el dibujo.

Viene solucionado en la página web de arriba.
Me parece un trabajo elogiable, pero hay un pequeño detalle que, aunque es cierto, no es evidente. (El autor afirma que puede demostrase, pero no se hace; posiblemente por aligerar el vídeo o porque el público al que va destinado no maneje con soltura la optimación). El detalle consiste en afirmar que la expresión x + 2/x es mínima cuando ambos sumandos son iguales, cosa que no demuestra.
Por mi parte, daré una solución distinta de la indicada en el vídeo, utilizando cuestiones de proporcionalidad, de trigonometría y de optimización.

También me he planteado qué pasaría si en cualquier universidad española se propusiese este problema en la prueba de acceso. (Mejor no contestamos).

Problema
Calcula el valor de x para que el ángulo theta sea máximo.

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Geometría (112). Lugar geométrico (II)

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Geometría (112). Lugar geométrico (II)

Foto: José María Martínez García

Los métodos de resolución de problemas suelen ser variados: geométricos, algebraicos, hacia atrás, por inducción,… La elección del método puede ser determinante para encontrar la solución; otras veces indica solamente una preferencia o una limitación (se sabe lo que se sabe), que genera soluciones elegantes, largas, complicadas, sencillas… Lo ideal es utilizar un método que lleve a encontrar una solución elegante y sencilla del problema. Pero, ¿cuál es ese método?, ¿y qué solución es la más sencilla?
El párrafo anterior viene a cuento porque aquí propongo nuevamente el mismo problema del post anterior, pero resolviéndolo por dos procedimientos distintos. Uno aplicando técnicas de optimización clásica, usando derivadas; el otro utilizando una fórmula trigonométrica. Sugiero al lector que haga lo mismo y que se pregunte cuál es la solución que prefiere.

Problema.
Sean los puntos O(0, 0) y A(1, 0). Se considera otro punto P(x, y) en el primer cuadrante de forma que el ángulo OPA mida 60º. Aplicando el cálculo diferencial y la trigonometría, halla el valor del ángulo alfa para que la suma de las longitudes OP + PA sea máxima.

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Geometría (111). Lugar geométrico

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Geometría (111). Lugar geométrico

Foto: Carmen García Matas (Biblioteca Nacional, Madrid)

Es sorprendente la cantidad de resultados que se obtienen al teclear en Google la frase de Paul Klee; “A line is a dot that went for a walk” = "Una línea es un punto que fue a dar un paseo". Aparecen, además, una serie de vídeos que constituyen un divertimento para niños y mayores (dibujos, música,…). Por ejemplo:
https://www.youtube.com/watch?v=7kFoi2EiG9U
https://www.youtube.com/watch?v=cDyksXdhqV4;
https://www.youtube.com/watch?v=DQEVllmeWH4

Parafraseando a Paul Klee, me atrevo a decir que: “Un lugar geométrico es un punto que fue a dar un paseo siguiendo determinadas instrucciones”.
Sirva lo dicho como introducción para plantear el problema que sigue.

Problema.
Sean los puntos O(0, 0) y A(1, 0). Se considera otro punto P(x, y) en el primer cuadrante de forma que el ángulo OPA mida 60º. Encontrar la línea por la que puede moverse el punto. ¿Cuál será su ecuación?

Solución.

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Geometría (110). Ángulos en la circunferencia

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Geometría (110). Ángulos en la circunferencia

Foto: Juan Luís Cordero.

Como estamos en verano voy a permitirme el lujo (licencia había escrito en primer lugar) de escribir lo que me venga en gana.

Anoche asistí a la inauguración de una exposición de arte. Lleva el título de “Palimpsestos”, y en ella se exponen algunos collages de Emilio Gil. Está en la Sala de Exposiciones de la Oficina de Correos que hay en el edificio del Ayuntamiento de Madrid, en Cibeles.
Pues bien, entre los magníficos collages del artista, para que el observador sepa observar mejor lo expuesto, hay una serie de frases pedagógicas. Una de esas frases, de un tal Otl Aicher (para mi desconocido:  https://es.wikipedia.org/wiki/Otl_Aicher) me llamó la atención, pues me llevó a la Geometría y, si se me permite la cursilería, a la belleza, a la armonía. O quizá, y como dijo otro artista a lo “extensamente figurativo”, que a saber lo que significa.
Pero vayamos a la frase de Aicher. Dice así: “Entre dos puntos no hay ninguna relación establecida. Estén muy juntos o muy alejados entre sí, su distancia permanece sin comparación con nada. Si se señala un tercer punto, se distinguen tres distancias entre los tres puntos y éstas guardan ahora una relación: son iguales o son distintas, sus proporciones pueden quedar indeterminadas u ordenadas, es decir ordenadas según relaciones determinadas. Este es el origen de la estética”. 
Me sentí animado con el argumento, pues al “hacer geometría” me consideré un poco artista. (Sin exagerar, claro).

Los dos problemas que siguen son una sencilla e interesante aplicación de la propiedad de los ángulos inscritos. Además de a los lectores de este blog, puede interesar a los alumnos de 2º o 3º de ESO.

Problema 1
Demuestra que el ángulo x es la mitad de la suma de la amplitud de los arcos AB y CD.

Problema 2
Demuestra que el ángulo y es la mitad de la diferencia de la amplitud de los arcos AB y CD.

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Geometría (109). Tangentes comunes

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Geometría (109). Tangentes comunes

Foto: Carmen Martínez García (Catedral de Ávila)

LIII OME - SEGUNDA PRUEBA FASE LOCAL, COMUNIDAD DE MADRID 21 de diciembre de 2016https://www.ucm.es/data/cont/media/www/pag-91362/olimpiada_53.pdf

El problema que sigue no es sencillo. Para resolverlo hay que conocer varias propiedades de las tangentes a una circunferencia; también se deben utilizar los teoremas de Tales y de Pitágoras… Me parece un buen entretenimiento veraniego para los alumnos mayores, y para profesores. Ánimo, y no veáis la solución antes de tiempo.

Problema
El dibujo muestra dos circunferencias y dos rectas tangentes a ambas, siendo A, B, P y Q los puntos de tangencia. Si la longitud del segmento PQ es 14 y la del AB es 16, calcula el producto de los radios de las circunferencias.

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