Geometría (181). Propiedad recta-triángulo

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Geometría (181). Propiedad recta-triángulo

Foto: Caty Martínez García, Budapest

El problema que se plantea a continuación es una curiosa aplicación del teorema de los senos.
No es una cuestión demasiado difícil, pero hay que tener cierta paciencia para buscar (y encontrar) los triángulos adecuados a los que aplicar el teorema; después hay que…

Problema
Dados un triángulo ABC y una recta r no paralela a ninguno de los lados, demostrar que si P, Q y R son, respectivamente, los puntos de corte de los lados BC, CA y AB (o sus prolongaciones) con la recta, entonces se cumple la relación que se indica en el dibujo.

Fig B181.jpg

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Geometría (180). Raíz de 2 no es racional

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Geometría (180). Raíz de 2 no es racional

Foto: Cristina Martínez García (Lisboa)

Que raíz de 2 no es racional es la típica demostración que se hace a los alumnos de 1º de Bachillerato. (Puede hacerse a partir de 3   º de ESO, pues es muy sencilla. La mayor dificultad suele ser el poco interés que tienen los alumnos por las cuestiones teóricas; en consecuencia, desconectan, y no entienden nada.). Yo lo he demostrado bastantes veces, siempre en 1º de Bachillerato de Ciencias. La demostración algebraica, la que yo conocía hasta hace pocas semanas, viene en bastantes libros; si el lector no la conoce puede verla al final de este documento. El método de demostración que se utiliza es el de reducción al absurdo: suponiendo que raíz de 2 es racional (igual a una fracción), mediante transformaciones elementales, se llega una contradicción.

La demostración geométrica se basa en el mismo método, pero, en este caso, las transformaciones elementales son geométricas.

Problema
Demostrar geométricamente que raíz de 2 no es racional. Puede partirse de un triángulo rectángulo de catetos iguales a 1.

Fig B180.jpg

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Geometría (179). Tangente común (III.4)

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Geometría (179). Tangente común (III.4)

Foto: Caty Martínez García, costa Vasca.

Este es el cuarto (y último) post con el mismo problema. Termino proponiendo encontrar la solución analítica para dos circunferencias dadas y un punto, también dado, en una de ellas.

Problema
Dadas las dos circunferencias y el punto A que se indica, halla la ecuación de otra circunferencia que sea tangente común a esas circunferencias y que pase por el punto A. Se trata de encontrar el centro y el radio de la tangente común.

Fig B179.jpg

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Geometría (178). Tangente común (III.3)

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Geometría (178). Tangente común (III.3)

Foto: José María Martínez García (Glacier National Park, USA)

Este es el tercer post con el mismo problema. Ahora propongo obtener la solución a partir de dos lugares geométricos: el centro de la circunferencia pedida será uno de los puntos de corte de una recta con una hipérbola. Encontrar esa recta y esa hipérbola es el reto.

Otra cosa: Los lectores de este blog saben que dibujo utilizando el programa Geogebra; pues bien, al hacer los dibujos he descubierto soluciones no previstas. Las sugiero al final.

(Y los que estén de vacaciones que descansen, pero siempre haciendo algo…).

Problema
Dadas dos circunferencias externas y un punto A en una de ellas, trazar otra circunferencia que sea tangente común a esas circunferencias y que pase por el punto A. Comprobar que el centro de la circunferencia pedida es el punto de corte de una recta que pasa por A y de una hipérbola cuyos focos son los centros de las circunferencias dadas.

Fig B176a.jpg

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Geometría (177). Tangente común (III.2)

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Geometría (177). Tangente común (III.2)

Foto: José María Martínez García, Emerald Lake, Canadá.

El profesor Francisco Castro Borreguero se empeña en mejorar la primera solución propuesta sobre el problema que sigue. La primera solución se da en el post anterior Geometría (176).

Problema
Dadas dos circunferencias externas y un punto A en una de ellas, trazar otra circunferencia que sea tangente común a esas circunferencias y que pase por el punto A.

Fig B177.jpg

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Geometría (176). Tangente común (III.1)

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Geometría (176). Tangente común (III.1)

Foto: Cristina Martínez García (Roma, Santa María)

Vuelvo a proponer un problema de los llamados de “regla y compás”.
Como saben los aficionados a la Geometría (entre los que se encuentran los seguidores de este blog) estos problemas suelen presentar enfoques diferentes, que determinan que la solución sea más o menos elegante. Esto lo vamos a ver nuevamente en el problema que sigue, pues daré tres soluciones distintas en los próximos “posts”.

Problema
Dadas dos circunferencias externas y un punto A en una de ellas, trazar otra circunferencia que sea tangente común a esas circunferencias y que pase por el punto A.

Fig B176a.jpg

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Geometría (175). Tangente común (II)

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Geometría (175). Tangente común (II)

Foto: Caty Martínez García, Pórtico de Santa María de los Reyes, Laguardia.

Propongo otro problema de “regla y compás”. Pienso que no es sencillo.
Para resolverlo hay que conocer la propiedad de la tangente a una circunferencia; también hay que ver (buscar) triángulos isósceles. Doy una pista: con vértice en el centro de una circunferencia y lado opuesto cualquier cuerda de ella se construye un triángulo isósceles.

Problema
Dados un punto A de una circunferencia y una recta r, exterior a ella, trazar otra circunferencia que pase por A y que sea tangente común a la circunferencia y a la recta.

Fig B176.jpg

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Geometría (174). Tangente común (I)

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Geometría (174). Tangente común (I)

Foto: Carmen Martínez García

En las próximas semanas voy a proponer algunos problemas de “regla y compás”; problemas que hay que resolver aplicando relaciones métricas y propiedades geométricas conocidas. Estos problemas no son difíciles cuando están resueltos, aunque pueden resultar agobiantes si no se encuentra la solución que se intuye pero se escapa…
Además, como saben los aficionados a la Geometría, son problemas que suelen presentar soluciones creativas y distintas. Por tanto, ánimo y suerte.

El problema que sigue es el más sencillo. En sus dos primeros apartados puede proponerse a los alumnos de 3º de ESO; el tercer apartado puede resultar más difícil.

Problema
Dadas dos rectas r y s y un punto A de r, trazar una circunferencia que sea tangente común a ambas rectas y que pase por A. Considera los tres casos siguientes:
1) Las rectas r y s son paralelas.
2) Las rectas r y s pueden prolongarse hasta encontrarse en un punto V.
3) Aunque la opción 2) siempre es posible, considera el supuesto en el que no hay espacio físico para que las rectas se corten: el vértice no es accesible; esto es, no hay posibilidad de encontrar V.

Fig B174.jpg

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